【摘 要】判断能被11整除的数的特征， 能被7整除的数的特征。
【关键词】教育期刊论文,分节法,整除,特征,教学,案例,评析
课前准备：
1 安排需要的学具(计算器1个)
2 认识五年级一班学生
(设计意图：希望在课前的几分钟时间里通过平等的对话交流，拉近师生之间的距离，为完成教学目标作好铺垫。)
教学目标：
1、培养学生的数学兴趣，以至发展为内在的学习动力。
2、培养学生善于观察、学会思考、学会分析的数学习惯。
3、初步培养学生研究数学的习惯。
教学重点：
培养学生热爱数学、追求数学的价值观。
教学设计：
一、谈话导入
师：同学们，你们六年的小学生活即将毕业了，在这六年里你们经历了若干的老师，同时也学到了不少的知识。那么你们的知识是否就够了?就满足了?在每章每节里敢说没有遗憾了吗?
生：没学够，有遗憾。还有很多地方没完全明白。
师：好的，那么老师就来考察你们整除方面的知识，看你们所学的到底还有多少差距，好不好?
生：好的
师：什么是整除呢?(如学生不能完整的回答这一概念，教师可作必要的补充。)
师：我们明白了什么是整除，那么能被2整除的数有什么特征?能被3整除的数呢?能被5整除的数呢?
生：踊跃发言。
(教师随时关注学生的表述，有不准确的地方及时要求学生调整过来。语言要求准确、简练。)
设计意图：1、能被2、3、5整除的数的特征易学、易懂、易理解、易掌握，通过这样的以旧引新的复习，让每个同学都有参与发言的机会。以体现课堂的参与性。
2、提高学生的自信心。
二、谈话过渡
师：同学们，我们学过了2、3、5的倍数的特征，那么11的倍数有特征吗?7的倍数有特征吗?教材上有这方面的知识没有?你们的老师提示过没有?你们自己追问过自己没有?
生：没有。
师：同学们这就是你们的遗憾了，那么想不想知道这方面的知识呢?
生：想。
师：那我们这节课就来探讨――能被11、7整除的数的特征，(教师板书板书)
设计意图：通过一连串的追问，激烈的对话，激起学生的求知欲。同时也让学生明白自身的不足，从而想急迫的进入课堂，一探事实的真相。
三、新授流程
(一)1、教师出示：44 66 187 1067 3586 5335 8415
要求学生判断是不是11的倍数。(设计意图：数由简单到复杂，判断也由容易到困难，从而把学生的思维拉入探究过程。)
2、师：既然1067、3586、5335、8415这几个数不能一下子作出准确的判断，那我们就从简单的数入手去研究，请说出最简单的11的倍数。学生依次说出，教师板书。
11 22 33 44 55 66 77 88 99
师：请观察它们的特点。
生：十位和个位上的数字相同。
3、师：那么11的倍数是三位数的又具有什么特征呢?请同学们算出11的11倍、12倍、17倍、24倍、35倍。(必须具备一定的量，以便进行研究。)
4、教师板书 121 132 187 264 385
问：它们有什么特征呢?(教师给学生一定的观察时间，同时巡视帮助。)
结论：百位上的数字+个位上的数字=十位上的数字
5、基本练习a、按此规律写出几个11的倍数。b、判断341 、 275是不是11的倍数。
师：是不是在三位数中11的倍数就只具备这样的特征呢?(这样的质疑可以进一步激起学生的探讨欲望。)那么请用11乘19、29、38、57.学生报告结果，教师板书：209 、 319 、 418 、 627。让学生充分观察，一定时间后教师引导学生观察，板书：
百位上的数字 + 个位上的数字 � 个位上的数字 = ? (11)
师：师生共同归纳什么时候结果为0，什么时候结果为11，从而明确三位数中11的倍数的特征。
(二)
1、师：三位数有规律可循，四位数中11的倍数又有什么规律呢? 师生一起分析
1067 3586 5335 8415 (注：把思考时间多留给学生，让他们深深地体会研究过程的艰辛。培养坚忍不拔的毅力)
同学们发现什么了吗? (没有)
教师用下例引导分析：
判断12345能被3整除，可用分节法进行
1/2/3/4/5
1+2+3+4+5 = 15 15是3的倍数，故12345就是3的倍数。(通过这种新奇的以旧引新，搭建起了新旧知识的桥梁。)
一定时间后，教师引导学生观察
师：其实，11的倍数也可以采用分节法来研究，只是注意分节时是从右向左每两个数字分为一节，位数是奇位数时最后一节是一个数字，然后把各节上的数相加，最后分析结果。
分析说明过程
10/67 53/35
10+67=77 53+35=88
因为77、88能被11整除，故1067、5335能被11整除，我们把这种方法叫住――分节法。 (同时板书在课题的前部分)
2、巩固练习
判断8415、3586 、 4563能被11整除吗?
3、师：那倍数是五位数、六位数……用分节法可以吗?
例、 94193 618574 分节 9/41/93 61/85/74
9+41+93 61+85+74
=1/43 =2/20
把结果继续分节：1+43=44 2+20=22
44、22是11的倍数，那么94193、618574就是11的倍数。
小结：判断一个数能否被11整除，可以把这个数从右向左每两个数字分为一节，然后把各节上的数相加，如结果是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。(两位数除外。)
(三)师：同学们，11的倍数有特征，7的倍数有特征吗?也能用分节法来研究吗?能推广吗?下面我们试着用分节法探讨7的倍数的特征。教师出示：
7×15 7×28 7×45
结果分节1/05 1/96 3/15
教师板书
1×2+05=7 1×2+96=98 3×2+15=21我们发现经过以上的分节处理其结果都是7的倍数。我们可以继续演绎：
7×327 7 ×654
=22/89 =45/78
22×2+89 45×2+78
=1/33 =168
1×2+33 1×2+68
=35 =70
拓展练习：下面各数能被7整除吗?如不能余数是几?469 875 1404。
小结：能被7整除的数的特征：把一个数从右向左二位分一节，其余数字乘以2的积加上所分二位一节之和，如果能被7整除，这个数字就能被7整除。
四、课堂总结
同学们，通过我们今天的研究学习，初步尝到了数学蕴含的神奇奥秘，老师真诚希望大家在今后的学习中努力去发现、去探索，在数学王国里还有许多问题要大家去揭密。
教学反思：学生数学素养的培养，源于教师对数学的无限探求。
《用分节法探究能被11、7整除的数的特征》教学案例评析：本案例，设计很好，由浅入深，环环相扣，把较难的逻辑推理知识演绎得清楚明了，使学生的好奇之心有豁然开朗之感，欢快无比，体会到学习数学的快乐，实现学生快乐学习的目的。课堂学习非常开放，教师搭建一系列平台让学生充分展示自己所想，学生自主、合作、探究，多途径、多方面获得数学知识与解题方法;课堂上学生汇报交流的方法与案例、获得知识的的途径与形式，学习资源的利用与开发、过程的动态生成与学生板书，成果的分享，得到升华。教师的巧妙引导，给学生的充分肯定与引领，使学生所学知识得巩固与提升。
教学有法而无定法，贵在教师的专研与探索，该教师真正做到了超越教材、超越自我。
课后感：以上案例是刘老师在我校上的一堂比较成功的公开课，课余，我怀疑他是在网上下载的资料，我上网查了资料，结果没找到此种解法，我找他谈话，你为什么要上“用分节法研究能被11、7整除的数的特征”，他的回答是：2013年秋，当我上完西师版教材五年级数学上册第七章《倍数与因数》的第二节内容：2、3、5的倍数特征后，我掩卷沉思：这一章节的内容主要是在整数中研究的，有许多实际的应用，但主要的目的是为今后分数方面的计算做准备。掌握了 2、3、5的倍数的特征，对于约分、通分、分数的四则混合运算就有了一个有力的工具。但通过我多年的教学经验得知，同学们在进行约分时最困难的却是难以快速判断分子、分母是否含有因子7或11，甚而至于是13，以此影响约分的速度和效果。比如：给约分就比较困难。要突破这方面的难点，须得弄清7或11等数的特征。
7或11的倍数是否有特征呢?如有又是怎样的特征呢?教材上没有渗透，资料上也没有提及。但我怎能放弃呢?必须弄明白这方面的真相。
首先，我以11为突破口，于是，在我案头上出现了一大堆的数字：88、99、121、132、187、209、319、627、770、880、858 ，这些都是11的倍数
看着这些数字，我内心只有一个想法：规律在哪里?它们的内在存在什么联系?…… 一连串的问题在我心中萦绕。
个位上的数字有奇、有偶，从个位上寻求规律行不通。
把各位上的数字相加，结果与11也毫无关系。
……
看着88、99、770、880这几个比较特殊的数与121、132、187、209、319、627的结构不同，难道是两位数与三位数的特征不同?难道要进行分别研究?产生了这个想法，我立马把11的倍数进行了分类整理。
11的倍数是两位数的：11、22、33、44、55、66、77、88、99
很有趣：个位上的数字与十位上的数字相同。
11的倍数是三位数的：121、132、143、154、165、176、187、198、209、220、231……308、319……
我依次列举了一串，通过我仔细观察，这些数是乎可以划分为两种情形。
一类是：121、132、143、154、165、176、187、198、220、231、242、253……
一类是：209、308、319……
前一类满足一个共同的特征：
百位上的数字 + 个位上的数字 � 十位上的数字 = 0
后一类满足：
百位上的数字 + 个位上的数字 � 十位上的数字 = 11
我惊了：这0和11不就是11的倍数吗?在三位数中难道满足
百位上的数字 + 个位上的数字 � 十位上的数字 = 0或 11的数就是11的倍数吗?我急不可待的验证了许多11的倍数，结果都是这样。同时也弄明白了满足什么条件的两位数的11倍结果为0，满足什么条件的两位数的11倍结果为11。
11的倍数是两位数的有特点，是三位数的也有特点，且特点不同，难道四位数中是11的倍数又具有另类特征吗?跟前面的研究方法一样，我又列举了一大串 11的倍数。1089、1100、1111、1122、1144、1188、1210、1221、1342、1353。 1100、1111、1122、1144、1188各位数字的组合比较特殊，很容易理解。但1089、1210、1221、1342、1353这些比较一般的数怎样才能寻出点眉目来呢?
把各位上的数字相加，结果与11没有关联，，此路不通。我深信个位上的数字经过一定方式的处理应该与11有关联。通过苦苦的思索我发现把1221分成两节，12为一节、21为一节，把这两个数相加结果为33。恰是11的倍数。兴奋之余，我试着把其他的几个数按同样的方式分为两节，把两节数字一加，结果都是11的倍数。我相信这绝不是偶然，接着我进行了大量的验证，经过这样的分节处理，两节之和就是11、22、33、44……99这九个数字中的其中一个。这难道不是与判断3的倍数的特征有异曲同工之妙吗?
这个分节法适用于三位数吗?乃至更多数位吗?试试看。
11的倍数： 187 10857 39248
分节 1/87 1/08/57 3/92/48
相加 1+87=88 1+08+57=66 3+ 92+48=143
再分节相加 1/43 1+43=44
判断：因为88、66、44是11的倍数，故原数就是11的倍数。综上所有研究的结果，可以表述为：11的倍数可以用分节法来进行判断，具体的操作过程是，把这个数从右向左每两个数字分为一节，最后一节可以是一个数字，然后把各节上的数相加，如结果是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
当然，研究问题要全面，我举了大量不是11的倍数的例子，通过上面的操作其结果都不是11的倍数。从而初步认定分节法的可靠性。
有了研究11的倍数的经验，我接着对7的倍数进行了摸索，最终找到了7的倍数的判断方法。只是在分节法的基础上又有不同的处理方式，具体操作演示如下：(下面的数都是7的倍数。)
119 175 2520 5663
分节 1/19 1/75 25/20 56/63
过程 1×2+19 1×2+75 25×2+20 56×2+63
=21 =77 =70 =175
1×2+75=77
需要说明的是：只能分成两节，右边两个数字为一节，其余的为一节，要用前一节的数乘2再加后一节的数，如果结果过大，继续分节进行，直到很好判断为止。
后来，我对13、17、23等数也进行了研究，它们的倍数都可以用分节法来进行判断，只是过程处理有一些差别而已。
深思：作为一名山区村小的教师，有如此专研教学方法的能力与精神，不得不令人感叹!
