静力弹塑性分析方法简介

　　摘要：PUSHOVER方法是基于性能/位移设计理论的一种等效静力弹塑性近似计算方法，该方法弥补了传统的基于承载力设计方法无法估计结构进入塑性阶段的缺陷，在计算结果相对准确的基础上，改善了动力时程分析方法技术复杂、计算工作量大、处理结果繁琐，又受地震波的不确定性、轴力和弯矩的屈服关系等因素影响的情况，能够非常简捷的求出结构非弹性效应、局部破坏机制、和整体倒塌的形成方式，便于进一步对旧建筑的抗震鉴定和加固，对新建筑的抗震性能评估以及设计方案进行修正等。PUSHOVER方法以其概念明确、计算简单、能够图形化表达结构的抗震需求和性能等特点，正逐渐受到研究和设计人员的重视和推广。目前，国内外论述PUSHOVER方法的文章已经很多，但大部分是针对某一方面的论述。为了给读者一个比较快速全面的认识，本文在综合大量文献的基础上，对PUSHOVER方法的基本原理、分析步骤、等效体系的建立、侧向荷载的分布形式等方面做了比较全面的论述。
　　关键词：基于性能抗震设计；静力弹塑性分析；动力时程分析方法；恢复力模型；目标位移
　　1前言
　　结构分析方法基本可以分为弹性方法和弹塑性方法。按对地震得不同处理方式，又分为等效静力分析与动力时程分析。一般来说动力弹塑性时程分析方法能较真实地模拟地震作用过程，但是，由于计算工作量巨大，地震波的不确定性等因素的影响，此方法尚处于科研阶段，在短期内做到实用化非常困难。自20世纪90年代美国学者提出基于性能设计的抗震设计思想以来，PUSHOVER方法由于其简单方便以及对结构特性的良好表现性，很快成为各国学者积极讨论广泛研究的焦点之一。经过十几年的研究，已经取得了较大发展，并且得到了美国的SEAOCVision2000，ATC–33，ATC–34，ATC–40，FEMA273，FEMA274[1-3]；欧洲的Eurocode8和日本的BuildingStandardLawofJapan等规范或规程的认可，我国也将这种方法引入了《建筑抗震设计规范》（GB50011-2001）。在反应谱的基础上建立的静力弹塑性分析方法主要有：N2方法，ATC-40推荐的能力谱方法[4]，FEMA-273推荐的位移影响系数法，改进能力谱方法[2]，Chopra改进能力谱方法[5]，适应谱法[6]，概率PUSHOVER分析方法[7]，静动力综合法[8]等。另外，还有很多学者针对这一方法的适用范围、影响因素作了深入探讨和研究，但是他们大多是针对某一方面，使对这方面有兴趣的读者感到凌乱，没有头绪，所以有必要对PUSHOVER方法的基本原理、分析步骤、适用范围、优缺点等作全面的论述。
　　2基本原理与分析步骤
　　2.1PUSHOVER方法的基本原理
　　静力弹塑性分析方法主要用于确定结构的非弹性效应、局部破坏机制、和整体倒塌的形成方式。因此该方法可以用于旧建筑的抗震鉴定和加固，以及新建筑的设计和抗震性能评估。这种方法的基本原理是：首先利用由反应谱换算得到的代表抗震需求的需求谱和体现结构自身性能的能力谱得到结构在可能地震作用下所对应的需求位移，然后在施加竖向荷载的同时，将表征地震作用的一组水平静力荷载以单调递增的形式作用到原结构计算模型上进行静力推覆分析，在达到需求位移时停止荷载递增，最后在荷载终止状态对结构进行抗震性能评估，判断是否可以保证结构在该水平地震作用下满足相应的功能要求。
　　静态弹塑性分析方法并没有非常严格的理论基础，所以采用这种方法是基于以下两个基本假设[9]下的：
　　（1）结构的反应和简化为等效单自由度体系的反应相关，这就意味着机构的反应由第一振型控制；
　　（2）在整个地震过程中机构沿高度的变形由保持不变的形状向量表示。
　　很明显这两个假设忽略了高阶振型和扭转效应的影响，对于高层建筑存在着较大的理论问题，但是，已有的研究表明对于由第一振型起控制作用的多自由度结构，静力弹塑性分析方法可以得到很好的分析结果。这两个假设使PUSHOVER方法简单易用，但同时也在很大程度上限制了它的应用范围。针对这一问题，很多学者从水平荷载分布形式、目标位移的分析方法等方面做了深入研究不仅提高了计算精度，而且在很大程度上扩大了该方法的应用范围。
　　2.2静力弹塑性的基本步骤
　　（1）准备数据。包括建立结构模型,构件的物理常数和恢复力模型等；
　　（2）选择一单调递增水平荷载（均布、倒三角、多振型叠加、二次分布、美国规范UBC97加载模式、组合加载等[10]），在水平荷载和竖向荷载共同作用下对结构进行弹塑性分析，作出结构的基地剪力-水平荷载曲线图（图1（a））。
　　（3）建立能力谱曲线。对于以第一振型为主的建筑，可以用等效单自由度体系代替原结构。将基底剪力-顶点位移曲线转换为谱加速度-谱位移曲线，即能力谱曲线（图1（b））。
　　
　　式中分别为结构第一振型的振型参与系数和广义质量，为基底剪力，为结构顶点位移。
　　
　　式中：——第i层质点的质量；——振型1中质点i的振幅；——振型1中顶层质点的振幅。
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　（4）建立需求谱曲线。需求谱曲线分为弹性和弹塑性两种，弹性需求谱（一般取阻尼比为0.05）可以通过弹性单自由度系统地震作用下Sa和Sd之间的以下相容关系
　　得到Sa和Sd之间的关系曲线，即AD格式的需求谱（图2（b））。
　　弹塑性系统AD格式的需求谱通常有两种求法，一是通过强度折减系数延性系数的关系利用弹性反应谱求解；二是对谱进行统计研究，直接获得非弹性设计谱。显然，第二种方法比第一种方法精确的多，但是需要大量的工作，目前多采用前一种方法。折减系数与延性系数的关系方法最早由Newmark和Hall提出，许多学者也进行了深入研究，文献[11]对此进行了较为系统的总结。目前，常用的除了Newmark-Hall提出的方法[12]外，还有Krawinkler-Nassar方法[13]，Elghadamsi-Mhraz方法[14]，Riddell-Hidalgo-Cruz方法[15],Vidic-Fajfar-Fischinger方法[16]等。确定了关系后，可以由下式确定弹塑性反应谱：其中，A为弹性加速度反应谱上对应于SDOF体系周期Tn和阻尼比的加速度值。变化值可以得到一组曲线，转化为AD格式，即为等延性需求谱。
　　（5）将能力谱曲线和某一水准地震的需求谱画在同一坐标系中，两曲线的交点称为性能点，性能点对应的位移即为等效单自由度体系在该地震作用下的谱位移。再根据式（1）将谱位移转换为原结构的顶点位移，由该位移在Vb-un曲线的位置，即可确定结构在该地震作用下的塑性铰分布、杆端截面的曲率、总侧移及层间侧移等，综合检验结构的抗震能力。
　　
　　
　　
　　
　　
　　结构性能点反映结构的延性特性，与结构的位移相关，所以需要根据结构位移不断修正等效体系的等效刚度和阻尼比，迭代求解。如果计算结果不收敛，即两曲线没有交点，说明结构抗震能力不足，需要重新设计。
　　3等效单自由度体系的建立
　　静力弹塑性分析步骤中比较重要的有恢复力模型的确定，等效体系的建立，测向力分布形式的选择等，这些是进行PUSHOVER分析必然要解决的问题。
　　等效单自由度体系的建立几乎每个研究PUSHOVER方法的学者都深入研究过。主要有美国Stanford大学的HelmutKrawinkler和G.D.P.K.Seneviratna[9]，南斯拉夫Ljubljana大学的PeterFajfar[17]，日本的HiroshiKURAMOTO，MasaomiTESHIGAWARA[18]等。虽然等效过程中公式并不完全一致，但是，基本等效原则大致相同。即通过将多层结构理想化为质量集中在各层楼面的多自由度系统的动力运动方程进行等效。本文用KrawinklerandSeneviratna的推导形式作说明。多层结构在地震作用下的动力微分方程为：
　　式中:分别为质量矩阵、阻尼矩阵、层间恢复力向量，为刚度矩阵；分别为楼面相对地面的侧向位移向量、速度向量、加速度向量；为地面运动加速度。令：
　　即将结构侧向位移向量用顶层位移与形状向量的乘积来表示。其中，为多自由度顶层位移；为形状向量，不同类型的结构可采用不同的形状向量，对于中低层钢筋混凝土框架结构可取结构的第一振型作为形状向量。将（7）代入（6）得：
　　定义等效单自由度体系得参考位移：
　　将顶层位移向量用参考位移表示并且代入（8）式，同时方程两边前乘得
　　式（10）可以进一步简化为等效单自由度体系的反应方程：
　　式中，分别为等效单自由度的等效质量、等效阻尼和等效恢复力。分别用下式表示：
　　  
　　由式（9）和式（14）可知，假如形状向量已知，则可以根据多自由度非线性增量静力分析结果确定等效单自由度体系的力-位移（）关系。
　　4恢复力模型的确定
　　作用在结构或构件的载荷被卸掉后，构件恢复原来状态的能力称为构件的恢复力，它与构件变形之间的关系曲线称为恢复力特征曲线。曲线一般是对结构或构件进行反复循环加载试验得来的，它的形状取决于结构或构件的材料性能以及受力状态。恢复力模型的选取也是进行结构静力弹塑性分析非常重要的一步，而且模型的选取直接影响计算结果的精确程度和分析过程的简化。对于钢筋混凝土结构或构件为了简化计算一般采用用双线型和三线型模型，同时还需要考虑刚度或强度的退化影响。
　　（1）双曲线模型
　　双曲线模型是最简单的恢复力模型，如图3（a）所示，其正向加载的骨架曲线采用两根直线01和12，其形状由构件的屈服强度、弹性刚度与屈服后刚度确定。加载及卸载刚度保持不变，反向加载的骨架曲线同正向。
　　（2）三线型模型
　　三线型模型如图3（b）所示，正向加载的骨架曲线有三根直线01、12及23组成，其形状由构件的开裂荷载、屈服荷载及各阶段的刚度确定；反向加载的骨架曲线同正向。模型的卸载刚度保持不变，等于屈服点的割线刚度（02线段的斜率），加载刚度考虑了退化现象，并令滞回线指向上一循环的最大位移点。三线型模型能较好地反映以弯曲破坏为主的钢筋混凝土构件的特性，比较适用于这类构件的计算。
　　
　　5侧向荷载分布形式
　　在进行结构静力弹塑性分析时施加的等效水平静力单调递增荷载是为了简化地震力而采取的一种方法。侧向荷载的分布方式，既应反映出地震作用下各结构层惯性力的分布特征，又应使所求得的位移，能大体真实地反映地震作用下结构的位移状况。如果结构受高振型的影响不大并且在不同侧向荷载方式作用下得到的结构破坏方式相似，则分析结果受荷载分布方式的影响不大。事实上，由于任何一种荷载分布方式都不可能反映结构全部的变形及受力要求，因为不论用何种分布方式，都将使得和该加载方式相似的振型作用得到加强,而其他振型的作用则很容易被忽略。而且，在强地震作用下,结构进入弹塑性状态，结构的自振周期和惯性力大小及分布方式也因之变化，楼层惯性力的分布不可能用一种分布方式来反映。因此Krawinkler[9]建议，最少用两种以上的荷载分布方式进行pushover分析。现有的等效静力荷载分布模式有以下几种[19][20]：
　　（1）均布加载模式（TheUniformDistribution）
　　这种方式也包括两种，一是把整个建筑高度范围内的侧向力按等分布考虑，二是把地震对每层的作用力看成均匀分布，计算公式分别由式（15）、（16）给出。
　　式中分别表示第层的集中力，第层的分布力，结构底部剪力，结构总层数，第层的重力荷载代表值。这种分布方式对层数较多的结构进入屈服状态后的受力情形比较接近。
　　（2）倒三角形分布（TheInverseTriangularDistribution）
　　这种加载模式广泛用于各国规范，如我们熟悉的底部剪力法。它认为在建筑结构高度范围内所受的惯性力是线性分布的。每层的层间力为：
　　
　　式中分别表示第层的重力荷载代表值和第层所处高度。这种分布模式较适用于层数较少的中低层结构。
　　（3）广义乘方分布（TheGeneralizedPowerDistribution）
　　这种分布方式可以反映结构变形中不同振型的贡献以及高阶振型的影响，其计算公式如下：
　　
　　式中分别表示第层的重力荷载代表值和第层所处高度。是形状分布参数，可以定义为结构周期的函数，当时为均匀加载模式；当时为倒三角分布模式；当时为二次分布加载模式。
　　（4）振型自适应分布（TheModelAdaptiveDistubution）
　　前三种分布方式将荷载看成在整个加载过程中是不变的，这对于弹性阶段的结构是适应的，但是，当结构进入弹塑性阶段，随着变形的增大构件的屈服，结构的自振特性和刚度不断变化，层间剪力也会产生相应变化，此时再把水平荷载看成不变的，显然是不合适的。所谓自适应分布是指根据加载过程中塑性铰的发展，不断调整结构和构件的刚度矩阵，从而使振型形状也发生相应改变。因此该方法采用与振型形状成比例的侧向力分布，可以分为只考虑基本振型和考虑多个振型两种情况，计算公式分别为式（19）和式（20）
　　
　　式中分别表示第层的重力荷载代表值，第层处第1振型值，上一步计算得到的基底剪力，上一步计算得到的第层层间力。
　　
　　式中分别为第振型在层的值，第振型的振型参与系数；其他参数与（19）式相同。
　　还有很多学者提出其它分布方式，文献[20]对其作了较为详细的总结：
　　第一类是固定式分布模式。这类除了均匀分布、倒三角分布、广义乘方分布外，还有FajfarP.和GaspersicP.提出的与质量向量和第一振型向量成比例的方法等。
　　第二类是适应型的分布形式。除了上面提到的方法外，还有每一荷载步随抗力变化而变化的分布模式。
　　第三类是与实际地震动相联系的分布模式。孙景江和钱稼茹[21]等对这类方法做出了先导性的贡献。
　　6目标位移的确定
　　结构的目标位移确定是PUSHOVER分析中的主要目标，其分析方法目前主要有等效单自由度方法、动力分析方法、能力谱方法、位移影响系数方法和适应谱方法。
　　（1）等效单自由度方法
　　该方法假定结构在地震作用下以某一振型反应且在反应过程中保持不变，因此可以把与结构等效的单自由度体系弹塑性时程分析的最大绝对位移作为目标位移。
　　（2）动力分析方法
　　Faella[22]认为，静力弹塑性分析法的目标位移取决于设计地震下动力时程分析得到的结构最大位移时，与动力时程分析获得的层间位移和柱子损伤才较吻合。因为动力时程分析输入加速度值有正有负，而Pushover方法采取单调加载，只模拟了左(或右)地震作用。
　　Tso和Moghadam[23]基于等位移原则采用弹性动力分析得到结构的目标位移，与基于等效非线性SDOF体系所得的具有同样的准确性。等位移原理：按弹性计算的谱位移值等于按弹塑性分析得到的谱位移值。该方法与等效单自由度法相比比较简便，不仅无需建立等效单自由度体系，而且能方便的确定多个目标位移，为需要做性能估计的每个杆件确定目标位移。
　　（3）能力谱方法
　　1975年Freeman等人提出了能力谱方法，通过地震需求曲线和结构能力曲线的叠加来评估结构在给定地震作用下的反应特性，这种方法其形象、直观、计算简单，因而受到广泛重视。能力谱方法中的需求谱多采用弹性反应谱，用等效阻尼考虑非线性特性，进行迭代求解目标位移。然而经研究发现,该方法有时迭代不收敛或不能收敛于正确解。
　　为此Chopra提出了改进的能力谱方法[5]，将需求曲线和能力曲线转换成相同格式绘在同一坐标图中，二者的交点即为目标位移点。这种方法经实例检验具有较好的计算精度，但是，场地条件等因素的影响目前尚未见系统研究。
　　（4）位移影响系数方法
　　位移系数法是利用PUSHOVER分析和修正的等位移近似法来确定结构的最大位移。FEMA-273(1997)推荐采用位移影响系数法来确定结构顶层的非线性最大期望位移，最大期望位移即为目标位移。
　　（5）适应谱方法
　　前面除了动力分析方法外都需要将结构简化为等效单自由度体系，而目前规范中的反应谱都是线弹性的，因此又必须等效成线弹性体系，这对于高阶振型不能忽略的结构是不合适的。文献[19]中提到的适应谱方法，采用的侧向荷载随结构动力特性的改变而变化，这样既体现了体现出结构和地震频谱特性的耦连效应又考虑了多振型的组合，而且不需要一系列的等效，求得的目标位移精度较高。
　　7结论
　　静力弹塑性分析方法是基于性能/位移设计的有效方法，是用静力荷载等效地震荷载对多遇地震作用下结构静动力特性估计的有效工具。该方法弥补了传统的基于承载力设计方法无法估计结构进入塑性阶段的缺陷，在计算结果相对准确的基础上，改善了动力时程分析方法技术复杂、计算工作量大、处理结果繁琐，又受地震波的不确定性、轴力和弯矩的屈服关系等因素影响的情况，非常简捷的求出结构非弹性效应、局部破坏机制、和整体倒塌的形成方式，进一步对旧建筑的抗震鉴定和加固，对新建筑的设计和抗震性能评估以及对设计方案进行修正等。PUSHOVER方法能较好反映了结构的性态，简单易行，易为工程设计人员接受。
　　PUSHOVER方法受很多因素的影响，比如对恢复力模型、滞回参数、加载路径、场地条件以及地震荷载的往复性等目前尚没有得出完全统一的结论。另外，由于PUSHOVER方法两个基本假设严重影响了它的范围，对单一振型起控制作用的结构分析结果比较准确，对需要考虑高阶振型和地震扭转耦合效应的高层和不对称结构的分析结果误差较大，适应谱法虽然有一定的改进，但是仍需要更深入的研究，以使PUSHOVER方法更确定性的应用于所有结构。