浅谈数学建模在职高数学中的教学

　　摘要：本文主要介绍利用数学模型解决现实生活中实际问题以及拟编一些与课本相关的建模问题，培养学生的应用意识，增加学生对数学的理解和应用数学的信心，提高学生解决问题的能力和创新意识。
　　关键词：职高，数学建模
　　数学建模就是对现实事物进行抽象概括，作出一个相应的数学模型，它是一个数学化过程。与人们观念中习惯的实物模型不同的是，数学模型只是一些数学符号、图表和表达式。实际上，数学建模就是一种学数学、做数学、用数学作为工具来解决现实生活中实际问题的一种技术化、艺术化的过程。而职高数学建模就是用所学过的数学知识解决现实生活中实际问题，是学与用的过程，是培养学生应用数学的意识和能力的过程。
　　把数学建模引入职高课堂教学，将会给职高数学改革带来新的突破。数学建模的教学使学生走出课本，走出传统的习题演练；使他们进入生活、生产的实际中，进入一个更加开放的天地；因此，数学建模教学应结合正常的教学内容进行切入，把培养应用数学意识落实在平时教学过程中，以教材为载体，拟编一些与课本相关的建模问题或课本中的例题、习题改编成应用题，逐步提高学生的建模能力。那么如何在职高数学中应用数学模型来解决问题呢？
　　一．构建数学模型
　　1．函数模型
　　例1．某商品的价格为80元，月销售量为10000件，若价格每降低2元，需要量就增加1000件，如果不考虑其它因素：
　　（1）试求这种商品的月销售量与商品销售价格之间的函数式。
　　（2）若这种商品的进货价是每件40元，销售价为多少元时，月利润最多？
　　上例中的第一个问题是一次函数的模型；销量与价格之间的函数关系；第2个问题是商业经营中的最佳定价问题，是二次函数的模型。
　　解：设商品价格降低n个2元时，则商品销售价为x=80-2n(n∈N)元。
　　 （1）月销售量Q=10000+1000n
　　 =10000+500(80-x)
　　 =50000-500x(件)
　　 这种商品的月销售量Q与商品销售价格x之间的函数式关系为Q=50000-500x.
　　 (2)月利润y=(x－40)Q
　　 =(x－40)(50000－500x)
　　 =－500+450000.
　　 答：销售价为每件70元时，月利润最多。其最多利润为450000元。
　　说明此题属市场营销问题。商品优惠、销售价、成本价和销售利润等问题在生活中司空见惯，学会算账是现代生活的基本要求，因此在教学中要启发学生应用学过的数学知识去思考问题，解决问题。这将是职高学生学习其他专业课或以后走上工作岗位要用到的基本知识，具有很强的适用性。
　　例2.一个个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4％，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这批货是月初售出好，还是月末售出好？
　　解：设这批货的成本费为x元，获利润y元，则
　　＝100＋（x＋100）×2.4％
　　＝120－5＝115
　　－＝0.024（x－525）
　　当x＞525元时，月初售出好。
　　当x＝525元时，月初和月末售出获利都一样，
　　当x＜525元时，月末售出好。
　　说明本题为决策性问题，一般建立函数关系式，从函数最值的确定作出相应决策。
　　2．不等式模型
　　例某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元。甲、乙电视台的广告收费标准分别为每分种500元和每分种200元。假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分种广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
　　解：设公司在甲、乙两个电视台做广告时间分别为x、y分种，总收益为z元，则
　　
　　目标函数z=3000x+2000y.
　　作出可行域（如图中阴影部分）和目标函数的等值线L:3000x+2000y=0即3x+2y=0（如图中虚线），平移等值线可知，当直线L经过点A时，目标函数z取得最大值.
　　联立 
　　解得x=100，y=200。
　　∴点的坐标为（100，200）。
　　∴=3000x+2000y=700000
　　答：该公司在甲、乙两个电视台做广告时间分别为100分种、200分种时可获得最大总收益700000元。
　　说明本题是运用线性规划知识解决实际问题，虽然本题在中等职业教材中属于阅读内容，但在实际中具有很强的适用性。
　　3．数列模型
　　例某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这天交付50万元，并加付款利息，月利率为1%
　　（1）若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一月，问分期付款的第10个月应付多少钱？
　　（2）全部货款付清后，买这40套住房实际花了多少钱？
　　解：因购房时已付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付清，则每次付款的数额顺次构成数列{},故
　　=50+1000×0.01=60（万元）
　　=50+(1000－50)×0.01＝59.5（万元）
　　=50＋(1000－50×2)×0.01＝59（万元）
　　=50＋(1000－50×3)×0.01＝58.5（万元）
　　……
　　=50＋[1000－50(n－1)]×0.01＝60－(n－1)×0.5(1≤n≤20,n∈N)
　　∴{}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列.
　　（1）＝60－9×0.5＝55.5（万元）
　　(2)＝60－19×0.5＝50.5（万元）
　　∴20次分期付款总和为＝＝1105（万元）
　　∴实际共付1105＋150＝1255（万元）
　　答：第10个月付55.5万元，买40套住房实际花1255万元。
　　说明本题是分期付款问题，现实生活中的许多经济问题，如增长率，利息（单利，复利），等与时间相关的实际问题；都可以通过建立相应的数列模型来求解。
　　在教学中要经常渗透建模意识，这样通过教师的潜移默化，学生可以从各类大量的建模问题中逐步领悟到数学建模的广泛应用，从而激发学生去研究数学建模的兴趣，提高他们运用数学知识进行建模的能力。
　　二、编拟数学模型
　　（一）从课本内容出发联系实际，以教材为载体，拟编一些与课本相关的建模问题
　　1.距离模型
　　例如：设y=＋（xR）,求y的最小值。
　　解y=＋
　　 =＋
　　建立两点间的.距离模型，上式可看成求动点P（x，0）到点A（2，1）、B（1，3）
　　的距离之和的最小值。为此只要求点A（2，1）关于x轴的对称点
　　（2，-1）到B（1，3）的距离，
　　即为所求的最小值。
　　所以=此时x=。
　　即线段B与x轴交点横坐标
　　2.直线斜率公式k=模型.
　　例求函数y=的值域
　　分析表达式与斜率公式k=具有相同的结构，因此，可用直线的斜率来求解把看作是定点A（-2，0）与动点P（cosx，sinx）连线的斜率。
　　解如图，因为动点P（cosx，sinx）在圆上
　　所以当连线与圆相切时，y取得最小值和最大值。
　　由图可知切线AB和AC的斜率分别为,
　　所以函数的值域是[,]
　　（二）根据课本中的纯数学问题，可以编拟出有实际背景或有一定价值的建模应用问题。
　　例如，在学完概率后，考虑有部分学生加入买彩票的行列及农村“六合彩”的盛行，提出：
　　例1、（1）目前，中国的彩票行业得到很大的发展，成为国家财政除税收外的另一项巨大收入。彩民争相购买的原因是看中其中的大奖——特等奖，没获奖也就当做献爱心，其中，体彩有“36选7”，“31选7”，“22选5”等。假如你是彩迷，你应该选择哪种，其中大奖机会更大些呢？用我们所学的排列组合及概率算一算，通过学生的思考、讨论及计算得到
　　彩票品种不重复的选法中特等奖的概率
　　36选7 =8625936 1.2×
　　31选7=26295753.8×
　　22选5 =263343.7×
　　从以上可以看出，以36选7为例若想保证获得500万元大奖，你必须付出17251872元，从这三种中特等奖的概率看，22选5的概率最大但它们都是“不可能事件”，面对这种
　　不可能事件，希望同学们理智的抱着献爱心的心态参与。
　　（2）目前，有些农村还比较盛行购买“六合彩”，若想获得百万大奖，你至少需付出多少呢？通过学生的思考、计算后，指出“六合彩”属于私彩，是非法且含有欺诈成分。
　　例如讲立体几何时，可引入长方体、正方体模型把相关问题放入到这些模型中来解决。
　　例在三棱锥P--ABC中，已知PAPB,PBPC,PAPC,且PA=a,PB=b,PC=c,求三棱锥P--ABC的外接球的半径。
　　
　　分析此题可以把三棱锥P—ABC放入长方体模型中，则a、b、c就是长方体的长、宽、高，那么外接球的半径r=
　　又如可以注意挖掘教材中具有创新价值的问题，通过问题的解决来引导学生的思维发展，如在进行“直线和平面垂直的判定定理”教学时，可以先设计问题：在水平的地面上竖起一根旗杆，问如何检查旗杆与地面垂直？同学们纷纷地设计出自己解决的方案：将旗杆抽象为一条直线，地面抽象为一个平面，根据直线和平面垂直的定义：用一块三角板，让一条直角边贴紧旗杆，直角顶点靠地，旋转一周，如果靠地的一边始终在地面上，则可以断定旗杆与地面垂直，否则旗杆与地面不垂直。
　　综上所述，在职高数学实行建模的教学，可使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养学生的应用意识，增加对数学的理解和应用数学的信心。可使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的数学问题。教师应以数学建模为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学事实及思想方法和必要的应用技能。并通过数学建模改变学生的学习方式，体现学以致用的精神。同时还能培养学生的思维能力及动手能力，训练学生的创造性思维，发展智力，提高学生解决问题的能力和创新意识。
　　参考文献：黄印尼.浅谈数学建模教学.福建中学教学.2004(1)
　　端方林..应用题中数学建模举隅.中学数学教与学.2004(9)