摘要：本文在双足被动步行动力学模型的基础上，首先介绍一种比较常见离散映射系统的不稳定流形的数值计算方法，选取了一种计算速度快及精度高的数值计算方法，并将该算法应用到双足被动步行的不稳定流形计算中，计算与分析了在力学参数影响下的双足被动步行模型的不稳定流形，从而运用计算机仿真双足被动步行模型的稳定和不稳定流形的直观图，为进一步研究双摆系的混沌动态行为奠定了基础。
关键词：双足被动步行，不稳定流形，同宿或异宿栅栏；
1引言
双足被动步行模型在摆动和碰撞过程是双摆运动，双足被动步行模型是步行机器人领域一个新的飞跃[7]，它以简单、节能等独特的优点成为了很多学者的关注。根据双足被动步行中自由度的数目，其中主要研究两个自由度被动步行模型，因此，双足被动步行模型被看作为一种双足被动步行[5]。
双足被动步行中的混沌行为是一种不仅有趣且有重要意义的现象。
2离散映射系统的不稳定流形的数值计算方法
增长流形算法的基本思想是:从最初始线段起，按照不稳定流形上的点的像和原像的增长比例[2]，此算法生成上的一系列点，流形轨迹自身被连续点之间的线段的线性分段内插于近似。开始在周围附近选择一点，使该点位于的线性近似上。初始序列就是。在计算新点的每步中，都在序列中增加一个上的点。为了到达满足的要求，首先依据数值点附近的曲率找到理想的步长，当前点与新点两者相距。然后，在某个线段上寻找到新点的原像。
因为不稳定流形是大量离散的点组成，设这些点的集合为。该算法的基本思想是按像和原像的增长比例扩张流形[1]，如果想得到该增长比例至少需要获得中的两个点[2]，那么在的足够小的邻域内选取点、，令，与的距离要按照映射的特点选择，通常依靠经验来确定。、，则不稳定流形的初始近似为。执行该算法需要的初始步长为，原像步长为，增长比为。根据该增长比即可循环计算中后面的点。在计算中，为了应用此算法，保存了中点的信息，其包括：
：点的坐标位置；
：从初始点出发，沿该轨线经历的长度；
：点的原像的坐标位置；
：从初始点出发，沿该轨线经历的长度；
：点所处线段的后一点坐标序号。
设已经计算出的前个点，即当前，现在需要沿不稳定流形计算后面处的。设的步长为，的原像的步长为。如图1所示，，，。处的增长比例为。根据该增长比例，可判断后面的的步长为，所以。而所处线段的两个端点分别为和，所以，我们可按照(1)式计算的坐标。再将进行映射得到新点坐标为，然后修正处的步长为。
（1）
图1计算的下一点
如果步长有可能过大，那么轨线上急速弯折的部分可能被漏掉，如果步长也有可能过小，那么计算得出很多无用的点，算法的计算速度及效率很低。因此，通过附近流形的弯曲程度来判断步长是否合适。如图2所示，在点附近的弯曲程度可用向量和
的夹角度量。因为
，而当很小时，近似有，所以可按照(2)式计算。
（2）
充分利用夹角可以控制的大小，如（3)式所示，如果满足此条件，那么可在一定范围内将限制。如果和大于最大值，那么说明过大，则将减半再次重新计算，如果和小于最小值，说明过小，则将增倍再次重新计算。只有控制的大小，才能有效控制局部内插误差，且保证算法的高效性和精确度。
(3)
图2向量和形成的夹角
如果满足要求，则保存的信息：、、、、，将该点加入中。像这样继续循环计算下去，直到达到不稳定流形长度要求为止。
3.计算流形应用实例
对于任意自治系统，
（4）
这里。若取为本系统的Poincaré截面，那么相应Poincaré映射可定义为：对于任意，表示从出发在系统的作用下再次回到时的交点。
双足被动步行模型动力学行为可由以下切换系统来描述：
（5）
其中k表示斜坡的倾角。这里的切换流形是：
(6)
切换函数为：
(7)如果轨线一旦到达切换流形，系统状态立即通过切换函数跳转到新的初始状态继续运行计算。为了处理两个系统的不连续性，采取切换流形作为系统Poincaré截面。由于本混合系统由时间连续系统(4)和切换函数(7)组成，所以，只要研究相应Poincaré映射和切换函数的复合映射，得到了二维离散映射系统具体表达式，Poincaré映射通过数值计算方法得到。
为利用上述算法进行计算，
令，于是得到：
（8）和（9）
而切换函数变为
，.（10）
因此，我们有
（11）
显然，计算的关键是计算Poincaré映射。仔细观察，不难发现的取值仅由和分量决定，和均位于上，即其第二坐标分量仅由决定，并且
，
因此在选择初值时，只要其和分量满足
，（12）
那么复合映射就可被看作是平面的映射。
为比较和验证上述一维流形算法的速度和精度，选取k=0.009。这时存在一个稳定平衡点：
计算出该映射一维稳定流形和一位不稳定流形直观图，如图4,5所示，通过此算法，还计算与仿真出不稳定流形和稳定流形存在横截相交一点，如图6所示。因此，如果不断继续迭代下出，那么存在不稳定流形和稳定流形之间无穷多次缠结，会导致同宿混乱，即横截栅栏效应，从而蕴含很多复杂动态的混沌动力学行为。
图4当时，双足被动步行的稳定流形
图5当时，双足被动步行的不稳定流形
图6当时，稳定流形和不稳定流形局部横截相交
4结论
本文以一种增长流形的算法思想为基础，计算和分析双足被动步行模型的动力学混沌行为。相对于其他不稳定流形算法而言，该算法能显著提高了流形计算速度和精度，减少计算误差。该算法对最简单的双足被动步行模型进行了验证，计算该系统不稳定流形和稳定流形，发现了一维不稳定流形和稳定流形横截相交，从而为双足被动步行的进一步研究打下坚实的理论基础，可能蕴含吸引子和周期解得动力学混沌行为特征。
参考文献：
1.杨晓松，李清都，唐云.双足被动步行的拓扑马蹄与混沌，力学期刊，2009
2.周丽.离散系统的一维不稳定流形计算，数字通信，2009
3.李清都，周丽，周红伟，离散系统的二维不稳定流形计算，重庆邮电大学，2010
4.柳宁,李俊峰,王天舒,双足模型步行中的倍周期步态和混沌步态现象[J],物理学报，2009，58（6）：3772-3779.
5.曲俊法,双足被动步行机器人行走稳定性的研究,哈尔滨工业大学硕士学位论文，2008.
6.倪修华，双足被动步行机器人性能分析及一种动力输入方法研究博士论文，2010.
7.毛勇，王家廒毛勇，王家廒等．双足被动步行研究综述．机器人，2007，29(3)：274~280.
