浅谈二次函数在高中阶段的应用

　　前言
　　在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。
　　一、进一步深入理解函数概念
　　初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射ƒ:A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应，记为ƒ(x)=ax2+bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
　　类型I：已知ƒ(x)=x2+2x+5，求ƒ(x+1)
　　这里不能把ƒ(x+1)理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
　　类型Ⅱ：设ƒ(1+)=++1,求ƒ(x)
　　这个问题理解为，已知对应法则ƒ下，定义域中的元素1+的象是++1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。
　　一般有两种方法：
　　(1)把所给表达式表示成1+的多项式。
　　ƒ(1+)=++1=(++1)-(1+)+1=(1+)-(1+)+1且1+≠1，再用x代1+得ƒ(x)=x2－x+1(x≠1)
　　(2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
　　令t=1+，则x=(t≠1)
　　∴(t)=++1=t2－t+1从而ƒ(x)=x2－x+1(x≠1)
　　二、二次函数的单调性，最值与图象。
　　在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a]及[－b2a，+∞）上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
　　类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
　　（1）y=2x2+|x|－5
　　（2）y=|2x2－3|
　　（3）=x2+2|x-1|－3
　　这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
　　类型Ⅳ设ƒ(x)=x2－2x－1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
　　求：g(t)并画出y=g(t)的图象
　　解：ƒ(x)=x2－2x－1=(x－1)2－2，在x=1时取最小值－2
　　当1∈[t,t+1]即0≤t≤1，g(t)=－2
　　当t＞1时，g(t)=ƒ(t)=t2－2t－1
　　当t＜0时，g(t)=ƒ(t+1)=t2－2
　　t2－2,(t<0)
　　g(t)=-2，(0≤t≤1)
　　t2－2t－1,(t>1)
　　首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
　　如：y=3x2－5x+6（-3≤x≤－1），求该函数的值域。
　　三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维：
　　类型Ⅴ：设二次函数ƒ(x)=ax2+bx+c(a>0)方程ƒ(x)－x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1a。
　　(Ⅰ)当X∈(0,x1)时，证明X<ƒ(x)<x1。
　　(Ⅱ)设函数ƒ(x)的图象关于直线x=x0对称，证明x0<x2。
　　解题思路：
　　本题要证明的是x<ƒ(x)，ƒ(x)<x1和x0<x2，由题中所提供的信息可以联想到：①ƒ(x)=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程ƒ(x)－x=0可变为ax2+(b－1)x+1=0，它的两根为x1,x2，可得到x1,x2与a,b,c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：
　　(Ⅰ)先证明x<ƒ(x)，令ƒ(x)=ƒ(x)-x，因为x1,x2是方程ƒ(x)-x=0的根，ƒ(x)=ax2+bx+c，所以能ƒ(x)=a(x－x1)(x－x2)
　　因为0<x1<x2,所以,当x∈(0,x1)时,x－x1<0,x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0,又a＞0,因此ƒ(x)＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,证得x<ƒ(x)
　　根据韦达定理,有x1x2=ca∵0＜x1＜x2<1a，c=ax1x2<x=ƒ(x1),又c=ƒ(0),∴ƒ(0)<ƒ(x1),根据二次函数的性质，曲线y=ƒ(x)是开口向上的抛物线，因此，函数y=ƒ(x)在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于ƒ(x1)>ƒ(0)，所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1，
　　即x<ƒ(x)<x1
　　(Ⅱ)∵ƒ(x)=ax2+bx+c=a（x+－b2a）2+(c－),（a>0）
　　函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=－b2a,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－b2a，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－b-1a，∵x2－1a<0，
　　∴x0=－b2a=12（x1+x2－1a）<x2,即x0=x2。
　　二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
　　二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。