对四元联系数模型中不确定量i，j的研究

　　  摘要：本文对四元联系数模型中不确定量i，j的取值情况进行了说明，对不确定量i，j在宏观层次中的不确定取值进行了简要的分析，然后又用不同的方法对其在微观层次中的取值进行了详细的分析。
　　关键词四元联系数模型；微观层次；i，j
　　集对分析[1-5]是一种研究确定性与不确定性的理论，其核心思想是把确定性与不确定性作为一个系统来进行处理。集对分析的基本思路是在一定的问题背景下对一个集合对子的特性展开分析，并建立起两个集合在特定问题背景下的同异反联系数表达式：μ=a+bi+cj，经过扩展,我们可以将其扩展为四元联系数，形如：μ=a+bi+cj+dk，同时，由于研究问题的必要性，我将对其中的不确定系数i，j进行分析。
　　一、不确定系统的宏观层次和微观层次
　　由集对分析的概述我们可以知道，联系数μ是刻划不确定量的一种数，这种不确定性在i、j中集中的反映出来了[6]。首先，联系数所刻划的量不是常量；其次，联系数所刻划的量也不能理解成变量，尽管联系数是可以“变”的，这是因为数学中的变量在宏观上不确定取值，而在微观上可以取确定的值。a、b、c、d处于确定不确定系统的宏观层次上(称为联系数宏观层次系数)，i、j则是对处于微观层次上的不确定性的承载(称为联系数微观层次系数)。这里的宏观和微观是指：a、b、c、d的取值从宏观上体现了确定不确定量的大小和联系数所处的集对态势；i、j的取值则是从微观上讨论了确定不确定性的联系和转化。
　　另外，宏观层次和微观层次是紧密联系的，i、j在微观层次上的自由值，受到宏观层次的约束，以至于在某个联系数中，i、j的实际值往往是i、j的自由值和a、b、c、d约束值综合作用的结果。但是，在综合过程中，哪一方面起主要作用，哪一方面起次要作用，仍要视不同情况而定，从而导致了有关i、j的取值思路及取值方法的多样性。
　　二、微观层次i，j取值方法
　　四元数模型宏观层次不确定性系数a、b、c、d的取值是我们根据相关的数据自然形成的，而微观层次系数i与j的取值规定在[-1，1]之间，根据不同的情况来决定的，一方面我们可以把b+c作为一个整体，用集对势来分析，从而形成一种可以称之为面向联系数的取值方法；但更重要的是i、j可以面向联系数所实际描述的“研究对象”取值，以作为对面向联系数取值的一种集对。一般来说，对于同一个联系数，不论以何种取值方法来取值，其取值结果可能都是不同的，即：取值结果具有多值性和不确定性。
　　下面我们就讨论几种联系数的i、j取值方法。
　　(1)比例取值法
　　i、j的比例取值法是一种面向联系数的取值方法，是一种顺势取值法。顺势取值法就是在四元数μ=a+bi+cj+dk的基础上，把b分成“ab”，“bb”，“cb”，“db”4个部分，其中“ab”可以并入a中，“cb”可以并入c中，“db”可以并入d中；把c分成“ca”，“cb”，“cc”，“cd”4个部分，其中“ac”可以并入a中，“cb”可以并入b中，“cd”可以并入d中，“bb”保留在正差异度内，“cc”保留在负差异度内，这一过程相当于对b和c分别作了“一分为四”的比例分解。
　　假设初始的联系数为：
　　μ=a+bi+cj+dk
　　其中有归一化条件a+b+c+d＝1，经过顺势取值后的联系数变为：
　　μ=a+bi+cj+dk
　　其中有a＝a+ab+ac，b＝bb+bc，c＝cc+bc，d=d+cd+bd则
　　μ=(a+ab+ac)+(bc+bb)i+(cb+cc)j+(d+cd+bd)k
　　此时，a+b+c+d＝(a+ab+ac)+bb+cc+bc+bc(d+cd+bd)
　　＝a+(a+b+c+d)(b+c)+d＝a+b+c+d=1
　　同样满足归一化条件。由此可见，i、j顺势取值以后不改变原有的势级状态，因为这时把差异度按原有“同一度”、“正差异度”、“负差异度”、“对立度”的比例关系作分解，再按此比例分配给了“同一度”、“正差异度”、“负差异度”、“对立度”。
　　通过上面的分析我们可以很容易的看出，在上述模型中的不确定量b和c，经过i、j的比例取值以后，不确定量b的值变为了bc+b2，不确定量c的值变为了bc+c2，可见，应用i、j的比例取值法，评价中的不确定量可以大大减小。为了使联系数中的不确定量尽量的减小或者是使不确定量转化为确定量，我们可以多次的使用比例取值法，使联系数中的不确定量进一步减小，直至不确定量全部转化为确定量，下面我们进一步的研究如何来多次使用i、j的比例取值法。
　　通过上面的讲述我们可以看到比例取值法确实是大大减小了联系数中的不确定量，使原来的同异反联系数向量进行了重新分配，但实际上这时的i和j的取值还是个不完全估算值，因为在新建立的联系数：
　　μ=(a+ab+ac)+(bb+bc)i+(cc+bc)j+(d+bd+cd)k中，仍有不确定量bb+bc和cc+bc存在，也就是说不确定量bb+bc和cc+bc中仍然存在“同一”和“对立”的部分没有分离。这样使我们对问题的进一步分析带来了很多麻烦，为此，我们可以将i、j的比例取值法进一步延伸。在联系数μ=a+bi+cj+dk中，为了让不确定量中的“同一”和“对立”部分完全得到分离，我们设想可以在第一步比例取值后的结果μ=a+bi+cj+dk的基础上再进行一次比例取值，把不确定部分b再次进行分离，得到一个新的联系数，然后在这个新的联系数的基础上对其不确定部分再次进行i、j的取值分离，如此反复，直到把该联系数中的不确定部分完全按比例分离给确定部分。按照这种方法，我们就可以计算出最终的联系数：
　　μm=(a++)+(d++)k
　　=+k=+k
　　其中为不确定量完全按照比例取值法分离以后的同一度，我们称为“最大同一度”；为不确定量完全按照比例取值法分离以后的对立度，我们称为“最大对立度”。通过这种方法我们就可以把原来的同异反联系数中的不确定部分完全分离到确定部分，在整个分离的过程中，我们始终是按照i、j的比例取值法进行操作的，在整个的操作过程中，联系数的集对势的态势并不会改变。
　　这种方法的实质是将联系数中的不确定部分完全分离到确定部分的比例取值法。它消除了i、j的比例取值法的向量再生，同时将联系数中的不确定量完全分离到“同一”或者“对立”两个确定量中去，从而使我们可以得到联系数态势下的最大同一度和最大对立度，所以这种方法也是i、j的比例取值法的一种延伸，可以用于对同一度的潜力预测，具有极高的应用价值。
　　(2)计算取值法
　　除了顺势取值法以外，还有逆势取值法。逆势取值法和顺势取值法的情况正好相反，i、j取的微小值都会导致集对势的改变，甚至对集对势的倒转，这是i、j自身起着主要作用，以至于由于集对势构成的约束在宏观上对i、j的取值好像不产生任何影响。反过来看，既然i、j的变化会引起集对势的变化，我们就可以根据集对势的变化来估算i、j的取值。
　　确定不确定系统是一个动态系统，不仅在某个时刻具有不确定性(由i和j来承载)，且在不同时刻其确定不确定程度也不一样(由a、b、c、d的变化来刻画)。当系统的确定不确定程度主要由i、j变化引起时，可根据μ的变化求出i、j的值，这就是i、j的计算取值法。
　　下面我们举一个例子来说明一下i值和j值的计算方法：
　　我们可以根据下面的例子来分析，某个团总支3月份的考评联系数为：
　　μ1=0.5+0.2i+0.2j+0.1k
　　4月分的考评联系数为：
　　μ2=0.7+0.1i+0.1j+0.1k
　　如果该考评联系数的变化完全是由i的值变化而引起的，那没我们就可以建立以下的式子来求出i的值。
　　方程一：0.5+0.2i+0.1=0.7
　　解得i=0.5
　　方程二：0.2i+0.1k=0.1k
　　解得i=0
　　由此可以看出，0.5为“同一”向量方面的i值，而在“对立”向量中i的值为0，所以对立向量没有发生，这就说明了原来的不定量b有一半变化到了a中，而另一半则还留在b或c中。
　　同理，可计算j的取值。
　　由上面的分析我们可以看出，i的计算取值法实际上是通过面向对象的变化结果计算而来，i引起了a、b、c、d的变化，但i的取值是由a、b、c、d的变化量反向求得的，当然，能这么操作有个前提条件，那就是此时系统的确定不确定程度主要由i变化引起。特别要注意的是，如果通过计算得到的i的值超出了i的定义域[0，1]时，我们就可以认为这时μ的改变既有i的作用又有k的作用。如果通过计算得到的j的值超出了j的定义域[-1，0]时，我们就可以认为这时μ的改变只有j的作用。
　　(3)随机取值法
　　当集对势为均势时，μ中的i可以在定义区间[0，1]中自由取值，j可以在定义区间[-1，0]中自由取值。具体的可以把[0，1]或[-1，0]均匀的分为若干个小区间，同时把这些小区间编上号，利用随机数表、随机读数或者随机抽出编上区间号的签来决定i或j的取值。
　　例如，在我校的年终考核中，由10为专家评委对某个团总支进行评价，其中对于某项指标的评价中，有3为评委认为是优秀，3为评委认为是差，2个为评委认为是中等，2个为评委认为是良好。按照四元数模型，对于这个团总支的这项指标的联系数表示为：
　　μ=+i+j+k。
　　为了弄清该团总支在这项指标中的考核情况，我们可以从10个评委当中有放回的连抽3次，每次抽出1名评委。如果3个评委都认为是优秀或者有2个评委认为是优秀，那么我们就可以估计i=1，如果3个评委都认为该项为差，或者与2个评委认为是差，我们就可以估计i=0，由此来估计在这项考核指标中该团总支的考核情况。该方法通过使用概率的原理来解决i的取值问题，因此当我们抽取的次数越多时，则结构就越精确。
　　(4)特殊值法
　　i的特殊值包括i的极限值如0，1，中间值0.5。j的特殊值包括j的极限值-1，0，中间值－0.5。这里要说明的是i＝0一般应理解成把b原封不动地保留在μ中，j＝0一般应理解成把c原封不动地保留在μ中，不作零处理，即不把b的一部分分给a，另一部分分给d。也就是说，当b≠0时，尽管i＝0但bi≠0；当b＝0时，bi可借助i的取值来刻画零的运动趋势。一般情况下，μ中当b＝0时可以不予写出，可以理解成不确定性在零附近。
　　i、j的特殊取值还包括i、j有时可以写成自身的n(n≥2)次幂，如i＝ii，i＝iii，j=jj，…，其含义可以这样来理解：i或j的n次幂从确定不确定角度来理解时，可以一律看成是i或j的一次幂。用文字表述就是，无论不确定性是多么的不确定，相对于确定性来说，它只有三个字：不确定。
　　当然对于我们使用的四元联系数模型来说，我们可以根据“均分原则”确定四元联系数中i和j的取值。根据集对分析给联系数μ=a+bi+cj+dk规定，d=¬¬-1，i在[0，1]之间视不同情况取值，j在[-1，0]之间视不同情况取值。“均分原则”是指i与j的取值应位于[-1，1]区间的两个三等分处，由于[-1，1]区间长度为2，三等份该区间，则得三个子区间[-1，-0.333][-0.333，0.333][0.333，1]，也就是说，根据“均分原则”i=0.333，j=-0.333，这样我们就对四元联系数中i和j的特殊取值法进行了分析。
　　三、小结
　　本文对四元联系数模型中的不确定系数i，j在宏观和微观层次的取值进行了简要的对比，然后又对在微观层次中i，j取值进行了详细阐述，通过对不同的取值方法进行分析，从而在微观层次中对不确定系数i，j进行有效取值。
　　
　　参考文献：
　　[1]赵克勤.集对分析及其初步应用[M].浙江科学技术出版社.2000.3
　　[2]赵克勤,曹鸿兴.集对分析与界壳论的研究与应用[M].气象出版社.2002.4
　　[3]赵克勤.集对分析及其初步应用[J].大自然科学,1994,(1):67-72
　　[4]赵克勤.集对与集对分析-----一个新的概念和一种新的系统分析方法[A].全国系统理论与区域规划研讨会论文集[C],1989,87-91
　　[5]赵克勤．联系数及其应用[J].吉林师范学院学报,1996,17(8):50-53
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