数学建模教学探究

　　[内容摘要]:数学建模是数学理论知识的实际应用，数学建模的题目来源于实际生活，数学建模涉及的知识面非常大，本文通过对数学建模的教学探究，论述了数学建模的教学原则、课堂教学、教学方法及应注意的几个问题，让学生体验数学知识的产生、形成和发展，了解知识之间的内在联系，弥补了数学课程脱离生活的弊端，学会合作、交流与表达，借助数学思维掌握解决问题的策略、方法，自主探索获得成功的快乐，建立学好数学的自信心.
　　
　　[关键词]:数学建模教学原则课堂教学教学方法原则问题
　　
　　数学知识应用是转换教学模式的有效途径之一，更有利于学生树立正确的数学观和学习观,而数学建模的目的是为了适应数学新课程改革中加强应用性、创新性和以人为本的教学要求,是在现实世界中发现和提出一些数学有关的问题，进而用数学的语言、知识、方法等等，把实际问题转化成数学问题，通常称为得到一个“数学模型”，经过分析后解决这个数学模型，求出相应的结果.下面就数学建模教学作进一步阐述.
　　1.明确数学建模的原则
　　教学活动应该有一定的原则来指导，数学建模也有自己的原则:
　　1.1适度性原则：建立数学模型是一种很复杂的工作，在课堂教学的短短几十分钟难以完成.因此，选编应用题时，必须对背景材料加工，抽取主要因素，进行适当简化，让学生能准确地用数学语言描述问题，建立模型，运用现有的数学知识和方法解决问题.
　　1.2适应性原则：应用性问题的选编应与学生的知识水平相适应，与课堂教学中知识相配套，在课文活动中，应用问题涉及的数学知识可以拓宽，但课堂教学中应用问题应与教学目标一致，与课堂教学进度相适应，不可随意拓宽与加重学生问题负担.
　　1.3实用性原则：应用问题的题材应尽量涉及目前学生熟悉的热点问题，所编应用问题必须符合生活、生产实际.
　　2.结合建模原则优化数学建模教学过程
　　数学建模的题目来源于实际生活，不同于死硬硬的纯理论学习，而且这些问题的答案不是唯一的，也没有完全绝对标准的，这些不同的因素，提供给学生足够的想象空间，结合实际，教师可以从以下方面进行课堂施教：
　　2.1教学生阅读：数学建模的题目取自生活，是非常贴近学生的，能够给学生一种熟悉关感，但是这些知识的获取不能只是知道，而应该利用阅读这一种手段来获取，用阅读理解题目，从中取得教学的成分，用数学的思想和方法去解决问题.而且，数学建模涉及的知识面要求非常大，这都要求学生会阅读，增加自己的知识面.
　　2.2教会学生整理：在课堂上，教师必须帮助学生搞清楚知识的来龙去脉，经纬联系，使知识条理化、系统化，也就是把生活问题整理出数学问题.
　　2.3教会学生取舍：很显然，相对复杂的教学模型，没有完整的理论答案，会出现舍那取这的矛盾，这就要求学生能够做到取主要因素舍次要因素，从而使理论结果与现实结果相接近.
　　2.4教会学生联系和构思：这里的联系不仅指实际问题与理论知识的联系，而且还要求把想象和抽象联系起来，最终把模型建立起来.
　　2.5教会学生评价和探索：数学建模的评价不比一般题目的评价，它的评价有时不仅结果不能直接体现出来，而且也不能是一成不变的.这种过程非常复杂，应该让学生自己学会在这方面有相当深度的理解，探索可以使知识进一步深化，探索是创造的钥匙.因此，必须鼓励学生大胆构想，勇敢实践，提高学生综合应用与灵活运用知识的能力，使创造性思维得到最大限度的发展
　　3.数学建模的教学方式
　　数学建模教学应结合正常的教学内容进行切入，把培养应用数学的意识落实在平时的教学过程中，通过对数学内容的科学加工、处理和再创造达到在学生中用，在用中学，让学生学习到数学的精神、思想和方法：解决数学模型问题的数学方法的完整过程：
　　抽象
　　（转化）
　　
　　求解
　　
　　检验
　　（解释）
　　
　　
　　3.1日常生活是应用题的源泉之一，现实中有许多问题可通过建立模型加以解决.这些大都可用基础数学知识，建立数学模型，加以解决.
　　例1．将货物从A运到B（如右图）,已知A
　　到河岸的距离AC=3，BC=4，而水路AD上的单
　　位距离的运费是陆路DB上的单位距离的运费
　　的2倍，为了使运费省，点D应选在何处？
　　分析：本题的数学语言非常理论化了，只要把它当作理论的应用题来解就即可，若取图中∠ACD=θ为自变量，设水路单位运价为2，于是总运费为
　　y=23/cosθ+(4-3tanθ)(0≤θ≤arctan3/4).对于这个式子的最值，令=t,得：y=23(1+t2)/(1-t2)+4-32t/(1-t2)=(2t2-6t+10)/(1-t2)
　　用判别式求得：ymin=4+，此时，相当有θ=л/6
　　此题引导学生考虑生活中的数学，会加深对数学知识的理解和运用，恰当地将其融入课堂教学活动中，注重联系实际与数学思维.
　　3.2以问题是模糊性模型的问题，介绍建模方法.这里的问题一般内容新颖、条件复杂、结论不定、解法灵活、综合性强，无现成的模式可套用，通常是是探究性的题目，问题的解决需要联合运用观察、分析等多种思维方法，同时探求多个解决方向，创造新思维和新方法，获得多种结果.
　　例2．为庆祝香港回归倒计时30天，柯受良先生决定在1997年6月1日下午驾车飞越黄河壶口瀑布，已知瀑布宽约55m，怎样才能保证他平安飞过？
　　这道题是影响因素很多，如空气阻力、风速、汽车性能等，解答时必需略去次要的因素，抓住汽车飞离跑道时与水平线所成的角度а，以及当时的速度v0，运用相关的物理知识，可得出数学模型：
　　h=v0sinаt-gt2
　　
　　s=v0cosаt
　　其中h为将汽车看作是一质点时与跑道末端的垂直高度，t为汽车腾空时间，取h=0消去t，得v0=，其中s为河宽，不妨取s=60m，g为重力加速度，取g=9.8m/s2得出下表一些答案：
　　а 8° 10° 15° 20° 30° 45°
　　v0 166km/h 150km/h 124km/h 94km/h 94km/h 8km/h
　　hmax 2.11m 2.62m 4.02m 5.45m 8.69m 17.4m
　　综合各种因素，将上表中的数据进行比较，可知取а=100，v0=150km/h为最优.这题从社会热点问题提出好素材，融入在数学的教学活动中，使学生掌握相关的建模方法，为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理提供了能力上的准备.在这题教学过程中，可以看出一开始把实际问题抽象成数学问题，忽略了次要因素，抓着主因素来建模.这个思维过程正是思维的发散性过程，需要联合运用观察、想象、分析、综合、类比等多种思维方法，创造新思维和新方法.
　　3.3通过问题是连续型模型的题目，培养学生的探索能力和创造能力，把数学概念、公式、定理、理论体系等作为数学模型来学习，强调“建模”的过程，模型的应用，其教学思想与过程教学（概念的形成过程，公理、定理的发现过程，问题的探索过程，暴露学习的思维过程）强调探索性、自主性的教学思想是一致的.下面给出了一个连续型数学模型的题目解决问题的例子.
　　例3．根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2000年的人口数.
　
　　分析：这是一个确定人口增长模型的问题.
　　一个国家的人口与众多因素有关，为使问题简化，我们如下假设：
　　（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；
　　（2）该国的人口数由其人口的生育、死亡引起，与外界移民无关；
　　（3）该国的人口数量变化是连续的；
　　（4）该国的每一个人有相同的生育能力和死亡机率.
　　基于上述假设，我们认为人口数量是时间的函数，记时间为t，时刻的人口数为P（t）.
　　建模的思路是，根据给出的数据资料绘出散点图，然后寻找一条直线或曲线，使它们尽可能地与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口增长率，从而进一步作出预测.
　　观察散点图（如下图），从整体趋势来看，可以认为散点近似分布在一条直线t=1830为对称轴的抛物线上，选两点（1830，3.930）、（1930，62.949）为对称轴的抛物线上，可定出该抛物线方程为：P（t）=3.930+0.0059(t-1830)2
　　此即欲建的人口增长抛物线模型.
　　我们还可以认为散点近似分布在一条指数曲线上，我们取1970、1980这两年的数据确定方程（而用1990年的数据作检查），因此,过两点（1970，122.776），（1980，131.670）求得指数方程为：
　　
　　P（t）=122.776*（1.007）t-1970
　　即该国人口增长的指数模型.
　　通过1990的人口数据的检验，其
　　误差分别为8.59%和1.07%，所以，我
　　们认为第二个模型精确度更标准，选取
　　第二个模型预测该国到2000年的人口预
　　测数为P（2000）=151.355×106.
　　4.数学建模教学应注意的原则问题
　　4.1在建模教学中，教师要考虑学生的情感因素（兴趣、动机、压力等）、经验因素、认知因素，使问题简化所作假设的客观性与合理性，要求建模者对现实原问题的深入了解和丰富的经验，为学生提供一种轻松愉快的氛围，为学生选择一些感兴趣的实际素材，才能增强学生的自信心，以学生主动探索为主、教师指导为辅的认知过程，对学生成功解决问题起到很大作用.
　　4.2注重学生的各种能力的发展.学生在整个问题解决的过程中的能力体现，需要想象力、推理能力、综合运用相关学科的知识能力、查阅有关文献的能力、数学表达能力、抽象思维能力、计算与分析及处理数据的能力等，在课堂教学中要先注意建模过程中各种能力的培养.
　　4.3切记把握好度.让学生学会数学建模只是手段而非最终目标，问题的选编必须围绕教学目标，结合学生的认知基础与兴趣，面向全体学生设下一定的坡度与难度，对于学生的问题解决过程，教师要充分做好引导，防止学生钻“牛角尖”而浪费大量的时间.
　　4.4现实建模问题的解决性.对所建模实际有效性的检测和修正，需要有一定的方法，如果检测结果与现实有较大的出入，就需对假设进行修正，直至所建模型达到应有的预期目标.
　　数学建模教学，让学生体验数学知识的产生、形成和发展，了解知识之间的内在联系，对数学逻辑化方法的取舍、优化与严谨的表达规范，弥补了数学课程脱离生活的弊端，学会合作、交流与表达，借助数学思维掌握解决问题的策略、方法，自主探索获得成功的快乐，建立学好数学的自信心.
　　参考文献：
　　冯永明等《中学数学建模的教学构想与实践》数学通讯2003年第13期
　　钱佩玲编《中学数学思想方法》北京师范大学出版社2001年出版