用Compertz模型估计抽油机热洗周期的数值算法

　　摘要：针对Compertz模型的参数估计问题，提出了一种数学处理方法，将需要求解三维优化问题简化成求解一元非线性方程问题，并给出了求解该一元方程的解区间搜索算法和二分法求解算法。实际表明，该算法不仅计算过程稳定，计算速度快，而且计算误差小。本文尝试用Compertz模型算法解决实际生产中抽油机单井热洗周期难确定、无法计算问题。
　　关键词：Compertz模型；参数估计；二分法；热洗周期；含蜡沉积物；悬点最小载荷
　　
　　中图分类号：TE933文献标识码：A文章编号：
　　Compertz模型在石油地质研究、油田开发指标预测等领域有很多应用[1,2]，能够描述具有反S型曲线特征的一大批实际数据。Compertz模型的参数估计问题是一个三维数值优化问题，一般算法难以给定合适的迭代初始值、容易收敛于局部极小点。本文遵循降维思想，给出了Compertz模型参数估计的一个新的算法。利用Compertz模型参数估计的新算法，拟合计算悬点最小载荷与时间之间的函数关系，从而计算得出热洗周期。
　　一参数估计方程
　　Compertz模型：，（1）
　　其中，是时间变量，是待定常数(),需要用测量数据来估算。
　　假设测量数据为。记：，；，（2）则确定常数的任务转化成求函数的最小值问题。
　　从式(2)求函数的偏导数：
　　；
　　
　　函数有极小值的必要条件是其偏导数等于0，所以：
　　（3）；，（4），（5）
　　式中：，，，
　　，，
　　显然，和都是仅与参数c有关的单变量函数，而方程组（3～5）关于参数a和b是线性的。从式（4～5）得到，（6）；，（7）
　　将式（6～7）代入式（3）得到：
　　，（8）
　　记式（8）式左边的函数为，则方程（8）是关于未知数c的一元方程。从方程（8）求出未知数c之后，分别代入式（6～7）即可求出参数a和b。称方程（8）参数估计方程。
　　二参数估计方程的数值求解
　　易知。如果方程有正实数解，根据函数连续性定理，必定存在一个区间，使得函数在该区间端点的函数值异号。如果能够找到这样的区间，则根据二分法[5]的使用条件，可以在这个区间上使用二分法求方程的精确数值解。给定一个较大的正实数，假设方程的解满足。再给定一个步长，搜索解区间的算法如下。
　　（1）算法1（解区间搜索算法）：令，计算函数值：；令，计算函数值；若，则解区间即为，停止；若，则搜索失败，停止；令，，转第（2）步。如果步长足够小，则算法1一般能够找到一个有解区间。当执行算法1之后没有找到有解区间，可能原因是步长不够小。解决这个问题是方法是对步长进行自适应控制。设是任意小的正数，是给定的步长减小因子。
　　（2）算法2（自适应步长解区间搜索算法）：给定初始步长；使用算法1求解区间。若算法能成功求出解区间，则停止；若，则搜索失败，停止；令，转第（2）步。假设通过算法2得到了解区间，对应的函数值分别是和，应该满足。再给定误差控制参数。
　　（3）算法3（二分法求解算法）：令，求函数值；若，则令，，转第（1）步；若，则令，，转第(1)步；若，则即为方程的解，停止。
　　三抽油机单井热洗周期估计的应用
　　1适用性分析
　　抽油机悬点最小载荷公式，（9）；
　　其中，，（10）
　　，（11）
　　将（10）式、（11）式代入（9）式，得
　　，（12）则可由非线性表出。
　　又有，
　　，（13）其中，，（14）；则有，（15）；则可由线性表出。
　　因抽油机井井底管柱含蜡沉积物厚度与时间正相关，符合Compertz生长模型条件，所以有，（16）；是待定常数，是时间变量，从而可由非线性表出，进而、可由非线性表出，，（17），（17）式说明排除其余变量干扰；是待定常数，是时间变量。
　　2计算举例
　　悬点最小载荷值可利用Compertz模型，通过时间变量表出。在生产现场，值可用低压测试仪器测试得出。目前某厂各基层小队多数采用以下标准来确定洗井日期：产液量下降10%以下；上电流上升1.12倍以上；沉没度上升100m以上；上载荷上升5%以上（未动管柱）；下载荷下降3%以下（未动管柱）。在这里，利用Compertz模型，求解热洗周期，以“下载荷下降3%以下（未动管柱）”为标准。使用本文新算法求得累计下载荷预测模型：
　　，（18）
　　以该井作业后第2日洗井后测试时间和测试下载荷为基值，即假设2010年3月20日洗井后井下管柱无蜡等沉积物，其下载荷为47.05。当下载荷下降3%至45.6385时，应及时洗井，此时：
　　，（19）
　　解得（取整后），即该井洗井周期为133天，下次洗井日期为2010年7月31日。与实际洗井日期2010年8月7日，相差8天。
　　四结论
　　（1）该算法具有计算过程稳定、熟练性能好等特点，克服了一般数值优化算法应用在Compertz模型参数估计问题中难以给定合适初始值和容易收敛于局部极小点等缺陷。
　　（2）利用Compertz模型参数估计的新算法，拟合计算悬点最小载荷与时间之间的函数关系，计算得出某抽油机井热洗周期，而且数据来源简单易取，数据的动态变化不影响模型的稳定性。
　　参考文献：
　　[1]童晓光，黎丙建.老油区石油储量增长趋势预测及应用[J].石油勘探与开发，1991，19（6）：25-31，39.
　　[2]赵旭东.对油田产量与最终可采储量的预测方法介绍[J].石油勘探与开发，1986，14（2）：72-78.