基于条件数学期望的花岗岩孤石方量估算方法

　　摘要：在花岗岩地区进行场地平整设计，一般将孤石并入剥离层计算，因此最终石方量与计算值存在一定的偏差。现行规程规范并无估算孤石方量的方法，因此研究孤石方量的估算方法具有现实意义。本文根据工程实例采用概率统计方法中的条件数学期望进行统计分析，探讨孤石方量的估算方法。
　　关键词：花岗岩孤石，方量估算，概率统计，条件数学期望
　　
　　
　　1前言
　　在花岗岩地区进行场地平整设计，一般将孤石并入剥离层计算，这种简化的做法造成了石方量计算的偏差。本文所用工程案例位于广州市科学城，工程场地位于覆盖层厚度大且花岗岩孤石较发育的剥蚀残丘，虽然场平设计时钻孔间距达到了20m（图1-1），但最终石方占总方量的比例（13.5%）与计算值（6.5%）仍存在一定的偏差。
　　现行规程规范并无估算孤石方量的方法，研究花岗岩孤石的估算方法具有现实意义。地表孤石的分布、块径、形状等和地下的孤石有区别，本文仅讨论地下孤石方量估算方法。
　　本文以钻孔揭露的水平方向遇孤石率，垂直方向线孤石率构造二维随机向量，通过条件数学期望获得二者的函数关系，并进行可靠度估值。最后通过与某工程的平均厚度法计算结果和施工记录进行对比，讨论计算方法的合理性。
　　2借鉴储量计算方法的孤石方量估算
　　场平设计时常将孤石视为夹层，借鉴储量计算常用的平行断面法、三角法、平均厚度法粗略估算孤石方量。
　　根据工程经验，平行断面法计算的储量一般＜平均厚度法计算结果；三角法属于一种精度更高的平均厚度法，但在钻孔较多时效率太低，一般不采用，以下只讨论平均厚度法。
　　平均厚度法中，剥离层、夹层、有用层相当于同底（S）不同高的柱体，该法不考虑孤石的具体形状，因此计算结果较为保守。设开挖面以上，全部钻孔的孤石平均厚度为，基岩面以上风化带厚度（含孤石）平均值为，则孤石方量，剥离层总方量。
　　
　　图1-1勘探点平面布置示意图
　　本工程采用一种简化的计算方法，通过对各孔孤石线性比例进行加权平均来获得v/V，，式中yi为各孔孤石总厚度Hi与基岩面以上风化带厚度Ti（含孤石）的比值，si为各孔基岩面以上风化带厚度，n为钻孔总数。可见平均厚度法和加权平均法是等价的。
　　由于钻孔不可能把孤石全部揭露，平均厚度法一方面会遗漏未揭露的石方量，另一方面把孤石作为成层土处理又夸大的石方量，因此其计算精度难以评估。为反映孤石分布的不确定性，下文把概率统计理论应用到方量估算中来。
　　3基于概率统计的估算方法
　　3.1计算参数
　　由于孤石之间是相互独立的，水平方向的“遇孤石率”，垂直方向的“线孤石率”具有一定的统计意义。
　　（1）水平方向计算参数——遇孤石率p
　　单个钻孔是否遇孤石的随机事件可看作贝努利试验，该事件服从概率为p的两点分布，而n个钻孔相当于n重贝努利试验，因此遇孤石的孔数x服从概率为p的二项分布，即，其数学期望E(x)=np。
　　对遇孤石率的分区统计见表3-1。
　　（2）垂直方向计算参数——线孤石率y
　　把线孤石率y定义为孤石总厚度H与基岩面以上风化带厚度T（含孤石）的比值，y可直观地表示孤石在垂向所占比例，根据钻探资料，对场地线孤石率y进行分区统计如表3-1。
　　表3-1遇孤石率、线孤石率分区统计表
　　分区 pi 线孤石率yi 分区 pi 线孤石率yi
　　行号A 列号B   行号A 列号B  
　　1 1 0.1111 0.1933 2 3 0.1667 0.1053
　　1 2 0.1667 0.5805 2 4 0.2500 0.1049
　　1 3 0.3333 0.2513 3 1 0.2000 0.0559
　　1 4 0.3333 0.3885 3 2 0.2857 0.1736
　　2 1 0.2500 0.1452 3 3 0.0000 0.0000
　　2 2 0.0000 0.0000 3 4 0.3333 0.0697
　　根据统计成果，作线性孤石率y密度函数、分布函数的核密度估计曲线图，与理论正态分布进行对比如图3-1。
　　
　　由图3-1，y核密度估计曲线应服从对数正态分布[1]，为简化分析，拟采用正态分布近似地描述y的分布规律。
　　对y作拟合优度检验，假设检验1：y服从正态分布，检验结果虽接在接受域内（表3-2），但为负值显然不合理。
　　表3-2y分布函数的假设检验
　　统计分级 频度ni 各分级
　　
　　拒绝域≥
　　
　　结果
　　0-6 6 0.154676 -10.3831 5.991465 接受
　　6-11 8 0.16229   
　　11-30 6 0.461464   
　　30-60 1 0.059399   
　　若以y的均值和样本标准差为正态分布参数，对y作Kolmogorov-Smirnov双侧检验，其方法是根据样本经验分布函数Fn(y)和正态分布函数N(y)构造检验统计量，在显著水平0.05下，求得临界值KS0.05=0.2873＞KS=0.271，概率p=0.0747，虽然非常接近拒绝域，但仍接受了正态分布的假设。
　　y近似服从正态分布是下文计算和讨论的重要前提。
　　3.2基于条件数学期望的计算方法
　　对x进行标准化变换，则服从正态分布，因y近似服从正态分布，随机向量(、y)服从二元正态分布，设的均值和方差分别为、，y的均值和方差分别为、。当已确定，则可通过条件数学期望和描述(、y)的统计学特征。
　　对场地各分区的、y及其相关系数r统计成果见表3-3。
　　表3-3遇孤石率、线性孤石率统计表
　　统计项目 p 
　　y 、y相关系数r
　　统计个数 12 12 12 0.3438
　　max 0.3333 0.9766 0.5805 
　　min 0.0000 -1.4253 0.0000 
　　平均值
　　0.2025 -0.0368 0.1724 
　　样本标准差
　　0.1190 0.7131 0.1687 
　　全场平均 0.1912 － 0.2111 
　　方量估算与平均厚度法采用同样的假设，全场地揭露孤石的面积为p*S，孤石所占厚度为y*，为基岩面以上风化土和孤石的总厚度平均值，则孤石体积为v=φpSy，基岩面以上的总方量为V=S。式中φ为形状系数，取值0.526（椭球体）～0.67（圆柱）～1（六面体），因此孤石体积占基岩面以上总方量的比例为v/V=φpy。为方便与平均厚度法比较，取φ=1。
　　因，、n、x确定时，遇孤石率p也是定值，。另有，式中、、、、、已知，因此E(v/V)也是的线性函数，可以用均值的置信区间描述E(v/V)的置信区间。
　　因服从标准正态分布N(0,1)，因此当显著水平为，其均值的单侧置信区间界限值为，取，取全场地遇孤石率，n取全场地参与统计的钻孔数68，算得，界限值为0.2696。
　　将各参数代入，算得。
　　利用分区统计成果计算孤石的比例，即，，。
　　3.3对计算结果的讨论
　　（1）与平均厚度法的对比
　　考虑各分区p、y平均值等于全场地p、y平均值的情况，此时，，取，，有，该结果与平均厚度法算得的孤石比例v/V=0.0415吻合，此时基于条件数学期望的计算方法退化为平均厚度法。
　　，主要原因是统计样本数（钻孔数）较少，通常分区数达到大样本（＞30）的情况下，统计量才以标准正态分布为极限，即，另外y的统计样本数只有13个，参数、与其真值有一定偏差；次要原因是各分区数据的离散性以及钻孔数的不均匀性，它造成各分区p、y平均值不等于全场地p、y平均值的情况。
　　基于条件数学期望的计算方法优势在于可以通过遇孤石率p对孤石比例进行可靠度估值，它考虑了估计量可能的误差，这一点是平均厚度法无法考虑的。
　　（2）与施工记录对比
　　根据该工程勘测报告，以平均厚度法算得的基岩占总方量比例为2.4％，孤石占总方量比例为4.1％，地表孤石量未进行估算，近似地提出总石方量约占10％。根据施工记录，按照椭球体计算的地上、地下孤石方量＋基岩石方量约占总方量13.5％。
　　假设施工记录是准确的，则以估算地下孤石方量更合理，这样地下孤石＋基岩方量约占9.6％，与施工记录更接近。但值得注意的是发生概率仅为5％。
　　反算施工记录石方比例13.5%的发生概率，，即发生了小概率事件，这显然是不合理的，施工记录的准确性应受到质疑。
　　由于施工记录的测量过程、精度和可信度未得到岩土专业的确认，它对计算方法的检验作用是有限的，因此置信度的合理取值需要经过更多工程实例的检验方能确定。
　　（3）形状系数的取值
　　为与平均厚度法作对比，本文取。由于孤石的形状一般是介于椭球和棱角被剥蚀的六面体之间，有条件的工程应现场调查成果选取合适的值，或以施工记录反算值。
　　（4）给定y时的条件数学期望计算方法
　　同理还可以通过以遇孤石率y对对孤石比例进行可靠度估值，由于y只是以正态分布近似描述，估值精度较低。由图3-1，在区间，正态分布的y估值＞实测值，在这个区间内以计算是保守的，超出此区间时正态分布的y估值就不保守了。解决的方法是对y也进行标准化变换，则其标准化随机变量服从T分布，其自由度为分区数-1，由于计算比较复杂，本文未考虑。
　　4结论
　　(1) 遇孤石率通过标准化变换后，可与线孤石率构成二维随机向量，通过其条件数学期望可获得两者的函数关系。
　　(2) 仿照平均厚度法方量计算的假设，可通过遇孤石率、线孤石率的函数关系，求得孤石比例的数学期望，并作可靠度估值。
　　(3) 基于条件数学期望的计算结果与平均厚度法吻合，说明计算方法是合理的，且平均厚度法是基于条件数学期望计算方法的一个特例。
　　(4) 基于条件数学期望的计算方法优势在于可以通过遇孤石率对孤石比例进行可靠度估值，相比平均厚度法，以可靠度估值计算的土石比与施工记录更接近。
　　参考文献
　　[1] 张继周,缪林昌.岩土参数概率分布类型及其选择标准[J].岩石力学与工程学报,2009,28(增2):3526~3532.
　　[2] 冯涛,吴光,王华.广东花岗岩地段球状风化地下分布特征分析[J].铁道建筑,2007,(1):104~105.
　　[3] 复旦大学.概率论第二册[M].北京:高等教育出版社,1979.180~183.