水平荷载作用下桩基有限杆单元法算法研究论文

　　摘要：本文基于有限元计算的基本概念，对杆系有限元方法进行了具体分析，推导出了具有对称形式的有限杆单元刚度修正矩阵，与传统方法进行了分析比较，提出了与有限杆单元法相适应的计算方法。
　　关键词：水平荷载论文，桩基论文，有限元
　　工程中风、海浪、地震、冲击等横向荷载对超长桩的影响十分显著，水平荷载，尤其是纵横向荷载共同作用下的超长桩研究却相对匮乏。虽然相关学者尝试利用不同方法给出倾斜荷载桩的解答及计算方法。然而，相关研究的数值计算过程较为繁琐，且多采用m法作为土体抗力假设，难以反映土体的非线性特性。
　　1.轴力杆单元
　　承受轴线载荷的等截面直杆如图1，其中f(x)是轴向的分布载荷(例如重力，离心力等)，P1，P2，…，Pj，…是轴向的几种荷载。对此杆件进行应力和变形分析时，可以假定应力在截面上均匀分布，原来垂直于轴线的截面变形后仍保持和轴线垂直，因此问题可以简化为一维问题。如以位移为基本未知量，则问题归结为求解轴向位移函数u(x)。
　　图1轴向载荷作用等截面直杆
　　从上述基本假设出发，可以导出承受轴向载荷等截面直杆的基本方程如下：
　　几何关系     
　　  (1)
　　应力应变关系    
　　     (2)
　　平衡方程     
　　       (3)
　　或       
　　     (4)
　　端部条件     
　　(端部给定位移)；(端部给定荷载)(5)
　　可以将问题转换为求解泛函的极值问题，其中
　　   (6)
　　式中l是杆件长度，A是截面面积，uj=u(xj)是集中载荷Pj(j=1,2,…)作用点xj的位移。集中载荷Pj可看作是包含在分布载荷f(x)中的特殊情况，为讨论方便，后文不再单独列出解释。
　　典型轴力杆单元如图2所示
　　图2二结点杆单元
　　每个结点i只有一个位移参数ui，单元内位移u(x)可以利用一维Lagrange插值多项式通过结点位移ui的插值表示为：
　　      (7)
　　其中
　　N=[N1N2...Nn]      (8)
　　uea=[u1u2...un]T     (9)
　　其中n是单元节点数，ξ是单元内的自然坐标，其与总体坐标x的关系如下：
　　，     (10)
　　l是单元长度，xc是单元中心点总体坐标，-1≤ξ≤1。Ni即一维Lagrange多项式，对两结点单元
　　，     (11)
　　将上式代入(3-6)，并利用可以得到有限元的求解方程
　　Ku=P        (12)
　　上式中，，
　　   (13)
　　    (3-14)
　　Ke以显式积分得出具体数值，表示如下：
　　      (5)
　　2.弯曲梁单元论文
　　承受横向载荷和弯矩作用的等截面梁见图3，其中q(x)是横向作用的分布载荷，P1，P2，…；M1，M2，…分别是横向集中载荷和弯矩。经典的梁弯曲理论中，假设变形前垂直梁中心线的截面，变形后仍保持为平面，且仍垂直于中心线。从而使梁弯曲问题简化为一维问题。基本未知函数是中面挠度函数y(x)。梁弯曲问题的基本方程如下：
　　几何关系      
　　        (16)
　　应力应变关系     
　　       (17)
　　平衡方程      
　　      (18)
　　端部条件为
　　，       (19)
　　或 ，       (20)
　　或，       (21)
　　以上各式，κ是梁中面变形后的曲率；M，Q分别为截面上的弯矩和横向建立；I是截面弯曲惯性矩；，，，分别是端部给定的挠度，转动、弯矩和剪力。
　　引入与基本方程相等效的最小位能原理，泛函取最小值
　　  (22)
　　图3横向载荷作用下等截面梁
　　图4二结点梁单元
　　利用二结点Hermite单元，桩身位移y(z)可表示为
　　    (23)
　　      (24)
　　       (25)
　　       (26)
　　     (27)
　　      (28)
　　位移向量ae中y1，y1，θ2，θ2分别为单元结点的水平位移和转角。
　　利用可以得到有限元的求解方程
　　Ka=P        (29)
　　上式中，，
　　   (30)
　　   (31)
　　上式中ξj和ξk分别为横向集中载荷和弯矩作用点的自然坐标。
　　3.平面杆件系统
　　对于可能承受轴力和弯矩共同作用的平面杆系，离散后单元的各个特性矩阵应是轴力单元和弯曲单元的组合。一般情况下，结点位移参数表示为：
　　(i=1,2,…,n)     (32)
　　单元刚度矩阵可表示成
　　      (33)
　　其中
　　(i,j=1,2,…,n)     (34)
　　载荷向量按类似方法表示为
　　(i=1,2,…,n)  (35)
　　4.结论
　　本文利用横向等效载荷的概念考虑轴向力产生的横向作用，基于弹性力学变分原理，推导出了具有对称形式的有限杆单元刚度修正矩阵，与传统方法进行了分析比较，提出了与有限杆单元法相适应的计算方法。
　　参考文献：
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