基于模糊数学的机械设计论文

　　现实世界中大量存在“亦此亦彼”处于中介过渡状态的模糊现象,它所导致的认识和判决过程中的不确定性,就是模糊性。模糊性是人类思维和客观事物普遍存在的属性之一。
　　在数学和哲学领域里,不分明或模糊逻辑已有长久的历史。当人们发现,并非所有的逻辑判断陈述句均为同样程度的“真”或“假”时,模糊逻辑研究就开始了。1965年,美国加州柏克莱大学的扎德(L.A.Zadeh)教授发表了里程碑性的论文“模糊集合”。在这篇论文中,他第一次用“模糊”(fuzzy)这个词来表示技术文献中的“不分明”(vague),并提出当且仅当一个集合破坏了排中律和矛盾律时,该集合为模糊集合,从而把经典集合与多值逻辑融为一体,创立了模糊集合论,由此形成了基于模糊集合论的一门新的学科———模糊系统理论。1972年,扎德提出了用模糊语言进行系统描述的方法,为模糊控制的实施提供了有效手段。二十世纪八十年代中后期以来,日本和其它一些发达国家兴起了一股研究模糊技术的热潮,特别是在日本,采用模糊控制技术的家用电器产品大量涌现,倍受用户青睐。同时,模糊技术在地铁机车、机器人、过程控制、医疗以及故障诊断、语音和图象识别等领域的应用,也获得了成功论文。
　　在机械设计中也存在大量的模糊信息,如机械零部件设计中,零件的安全系数常常从保守观点出发,取较大值而不经济,但在其允许的范围内存在着很大的模糊区间;机械制造中加工变量v、f、ap的选取,其允许值和实际选取的值也存在一模糊区间,在这些区间里取值与允许值并无多大差别。但区间内往往含有丰富的工艺参数信息,并有可能获得意想不到的结果。如:材料的厚度约为2cm,冲击力约为8t,零件底部圆角半径为5～6mm等等。传统设计模型是先把模糊信息进行一定的简化,即把模糊信息变成非模糊信息,然后再进行加工。这种设计模型未能有效描述这些信息,也不能直接利用这些信息去进行设计计算。因此在机械设计中引入模糊是很有必要的。
　　一、模糊数学基础1.模糊集合及其表示方法论域U上的一个模糊集合A是指,对于Pu∈U,都指定了一个数μA(u)∈[0,1]与之对应,它叫作u对A的隶属度(degreeofmembership)。这意味着定义了一个映射μA:
　　μA:U→[0,1],uαμA(u)该映射称为A的隶属函数(membershipfunction),或集函数(setfunction)。在给定的论域U上,可以有多个模糊集合。设U上模糊集合的全体为F(U),则:F(U)={A|μA:U→[0,1]}
　　正如普通集合完全由特征函数所刻画一样,模糊集合也完全由隶属函数所刻画。μA(u)的值越接近于1,u就越属于A;反之,μA(u)的值越接近于0,u就越不属于A。当μA(u)的值域仅为{0,1}时,模糊集合A就蜕化为一个普通集合,μA(u)也就演化为特征函数。因此,普通集合是模糊集合的特例,模糊集合是普通集合的推广。
　　为了简便,可以将模糊集合A本身看作隶属函数μA,即:
　　A(u)=μA(u),Pu∈U对于U上模糊集合A,隶属函数为μA(u),常见的表示方法有序偶法、Zadeh法和向量法论文。
　　隶属函数是模糊集合论赖以建立的基石,合理地确定出模糊集的隶属函数,对于较准确地描述和表达模糊概念是重要的。目前,建立隶属函数常用的方法有模糊统计法、二元对比排序法、经验权重法等,此外常常选择一些典型的模糊分布,去逼近所研究的模糊集合的隶属函数。所谓模糊分布,是指以实数域R为论域的隶属函数。最常见的几种模糊分布形态为三角型、正态型和梯型。均匀分布的隶属函数称为线性隶属函数,不均匀分布时称为非线性隶属函数。
　　2.模糊集合的运算与普通集合类似,模糊集合也有相等以及包含、交、并、补运算。两个模糊子集间的运算,就是逐点对隶属函数做相应的逻辑运算。设A,B∈F(U),如果对于Pu∈U,均有:
　　(1)μA(u)=μB(u)则称A和B相等,记为A=B,即:
　　A=BZμA(u)=μB(u)(2)μA(u)≤μB(u)则称B包含A,或A是B的子集,记为AAB,即:
　　AABZμA(u)≤μB(u)并且分别称A∪B,A∩B为A与B的并集、交集,称为Ac为A的补集或余集,其隶属函数分别为:
　　Ac:μAc(u)=1-μA(u),Pu∈UA∪B:μA∪B(u)=max{μA(u),μB(u)}=μA(u)∨μB(u),Pu∈UA∩B:μA∩B(u)=min{μA(u),μB(u)}=μA(u)∧μB(u),Pu∈U上述运算是由扎德沿用经典逻辑的方法定义的,称“∨”、“∧”为Zadeh算子,由此得到的模糊集合的包含、交、并、补运算,称为模糊集的基本运算。
　　为了使模糊集合适合各种不同的模糊现象,人们还相继提出了不少与“∨”、“∧”相对应的二元运算,这些运算统称为模糊算子。表1列出了常用的几种模糊算子对。
　　表中:a∨b=max(a,b),a∧b=min(a,b),a•b=ab(普通乘法),a+∧b=a+b-ab,aε+b=a+b1+ab,aε&b=ab1+(1-a)(1-b),a?b=min(a+b,1),a⊙b=max(0,a+b-1)aγ+ba+∧b-(1-γ)abγ+(1-γ)(1-ab),aγ&b=abγ+(1-γ)(a+∧b),γ∈[0,1]
　　这些算子各有优缺点,可根据具体问题的特性选择使用。综上所述,模糊集合A、B的并、交运算的一般形式为:
　　A∪B:μAYB(u)=μA(u)∨3μB(u),Pu∈UA∩B:μAIB(u)=μA(u)∧3μB(u),Pu∈U式中∨3、∧3是[0,1]上的二元运算,分别称为并型(OR)运算和交型(AND)运算。实际应用中,早期人们多采用扎德算子“∨”、“∧”,近来更多地采用了乘法、加法和除法运算算子。
　　二、机械设计中的模糊问题机械产品的开发一般要经过产品规划、方案设计、技术设计、施工设计、产品鉴定等阶段,在各阶段常会遇到各种模糊问题,虽然这些问题的特点、性质及对计策的要求不尽相同,但所采取的模糊分析方法是相似的,因此仅以技术设计中参数确定为例说明模糊数学在机械设计中的应用。
　　机械设计时必须从已给出的参数取值的一般原则和可行范围中综合评判出一个合适的数值。如安全系数的确定、带传动中心距的确定、齿轮传动齿宽系数的选择等。
　　例如已知某轴承承受径向力Fr=2000N,轴向力Fa=500N,有轻度冲击,轴速n=1450r/min,轴刚度较大,对噪音无特别要求,预期寿命15000h,轴径d=40mm,试选择轴承类型。
　　Step1:确定模糊集满足设计要求的轴承有0类、1类、3类、6类、7类。由于轴刚度较大,对调心性要求不高,所以不考虑1、3类轴承。轴承直径系列代号均选2(轻系列)。经轴承寿命计算,三种轴承均满足寿命要求,因此确定了论域U={u1,u2,u3},其中u1、u2、u3对应的型号分别为208、36208、7208。
　　Step2:确定评价因素假设在论域U上有6个因素对轴承类型的选择有影响。即{u1,u2,u3,u4,u5,u6}={承受径向载荷的能力,承受轴向载荷的能力,转速性能,承受冲击的能力,噪声大小,寿命}。
　　Step3:确定隶属度根据6个因素,确定u1、u2、u3的隶属度函数。将6个因素分为优、良、中、差四等,如表2所示,据此确定隶属度。
　　Step4:根据对轴承的要求,作出评判根据对轴承的要求,对每个因素的隶属度函数赋予不同的权值,计算u1、u2、u3的隶属度,最后根据最大隶属度原则,应优先选用36208轴承。
　　三、结束语
　　以上论述的模糊综合评判的基本原理和方法,是决策思维过程的一种数学描述。其最大特点是,可以将各因素对设计结果的影响进行全面定量地分析,得出综合的数量化指标,作为选择决断的依据,对原来完全凭经验作出的决策提供了科学的方法。用模糊综合评判理论进行多因素的决断,人的主观因素占有一定的比重,如权重和隶属度的确定、因素的筛选,最好建立专家系统,将模糊推理与专家系统相结合。
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