GPS卫星位置计算方法研究

　　摘要：利用GPS计算卫星位置有两种方法：其一是从接收机中获得卫星的广播星历，从广播星历中提取出有效信息，然后进行卫星位置的计算；其二是从相应的网站中下载得到卫星的精密星历文件，然后利用拉格朗日插值公式计算卫星位置。由于上述两种计算卫星位置的方法都存在着一定的缺点，因此本文详细介绍了切比雪夫多项式标准化卫星轨道的方法。本论文对上述两种计算卫星位置的方法进行了详细探讨，并对切比雪夫多项式标准化卫星轨道的方法进行了详细的阐述。并且通过实验，对上述的方法进行了检验，证明上述方法计算卫星位置的可行性。
　　关键词：GPS；广播星历；精密星历；拉格朗日插值公式；切比雪夫多项式；卫星位置
　　前言
　　GPS技术中的一个重要内容就是精确确定GPS卫星轨道。在GPS导航定位中，是将GPS在空中的三维位置作为己知值并广播给用户，用户再根据所测得GPS天线至卫星的距离才能求得自己所处的位置。因此，精确的轨道信息是导航定位的基础，而对于更精密的定位应用，则需要更精确的卫星轨道。
　　因此，在GPS定位过程中，计算所需时刻GPS卫星的位置是通过接收到的GPS卫星星历等信息加工和计算而得到的。而计算GPS卫星位置也贯穿在GPS数据处理的始终，具有重要意义。计算GPS卫星位置有两种方法：利用广播星历计算卫星位置；利用精密星历计算卫星位置。本文将对两种计算卫星位置的方法进行研究。
　　1利用广播星历计算卫星位置公式及简化
　　根据广播星历中卫星电文提供的轨道参数按一定的公式可计算出观测瞬间GPS卫星在地固系的位置。
　　1）计算卫星运行的平均角速度n
　　卫星运行的平均角速度计算值
　　（1—1）
　　式中为wGS84坐标系中的地球引力常数，且=3.986005/。平均角速度n。加上卫星电文给出的摄动改正数，便得到卫星运行的平均角速度n:
　　（1—2）
　　2）计算归化时间
　　设t’为接收机接收信号时刻，为信号传播时间，为卫星至接收机间的距离，c为光速，则卫星发射信号的时刻t为:
　　（1—3）（1—4）
　　然后将观测时刻t归化到GPS时间系统
　　（1—5）
　　式中称为相对于参考时刻的归化时间。在计算时，应注意是由每星期历元(星期六/星期日子夜零点)开始计量的。当>302400s时，应减去604800s;当<-302400s时，应加上604800s。
　　3）计算观测时刻的卫星平近点角
　　因为导航电文中已经给出参考时刻的平近点角，因此
　　（1—6）
　　4）计算观测时刻的偏近点角
　　根据卫星电文给出的偏心率e和算得的，利用开普勒方程：
　　（1—7）
　　进行跌加计算。
　　解算方法是：首先赋予的初值为=，代入上式解算第一部迭代值。因为GPS轨道偏心率较小，约在0.01左右，所以一般两次迭代就可以计算出。另外，上述式子中和均以弧度为单位，若以角度为单位则计算公式如下：
　　（1—8）
　　5）计算真近点角
　　根据公式
　　（1—9）
　　则的计算公式为：
　　（1—10）
　　6）计算升角距角
　　（1—11）
　　其中为卫星星历中给出的近地点角距。
　　7）计算摄动改正项，，
　　（1—12）
　　为升交距的正余弦调和改正项振幅，为轨道倾角的正余弦调和改正项振幅，为轨道半径的正余弦调和改正项振幅。，，分别为升交距角的摄动量，卫星矢径的摄动量和轨道倾角的摄动量。
　　8）计算经摄动改正的升交距角，卫星矢径和轨道倾角
　　（1—13）
　　9）计算卫星在轨道平面坐标系的位置
　　（1—14）
　　10）计算观测时刻的升交点精度
　　（1—15）
　　其中，，，的值可以从卫星电文中提取，为地球自转的角速度，为格林尼治恒星时。
　　11）计算卫星在WGS—84坐标系的位置
　　将卫星在轨道平面坐标系的坐标（）坐标转换，即可算得观测时刻卫星在WGS—84坐标系的坐标:
　　（1—16）
　　将坐标旋转矩阵带入
　　（1—17）
　　其中为极移改正。
　　2利用精密星历计算卫星位置公式及简化
　　根据精密星历提供的数据可以借助插值公式，内插出任意时刻(例如观测历元)的卫星坐标。目前比较常用的是拉格朗日插值公式。设在时间轴的n+1个节点上的卫星坐标(x分量)为
　　•••
　　•••
　　则在任意时刻t的函数值的插值公式是
　　ji（2—1）
　　对于等间距的形式
　　（2—2）
　　令
　　则式（2—1）可以改写为（2—3）
　　同理，对于卫星坐标的y，z分量，分别有
　　（3—21）
　　（3—22）
　　3利用切比雪夫多项式标准化卫星轨道公式及简化
　　假定在时间间隔t[,+]的卫星星历用n阶切比雪夫多项式逼近(标准化)，其中和分别为开始历元和拟合时间区间的长度。为了用切比雪夫多项式来标准化卫星轨道，首先应将时间t[,+]变换成t[-1,1]：
　　,t[,+]（3—1）
　　则卫星坐标x，y，z分量可用如下n阶切比雪夫多项式表示:
　　（3—2）
　　其中，n为切比雪夫多项式的阶数，分别为x坐标分量，y坐标分量，z坐标分量切比雪夫多项式系数。切比雪夫多项式用下面的递推公式得到：
　　（3—3）
　　根据已知的星历文件提供的信息，如果是广播星历，则利用广播星历参数应用第一种方法计算（k=1，2，3，•••，m，mn+1，n为选定的多项式阶数）时刻的卫星位置（），组成坐标文件。如果星历文件为精密星历，则要分两种情况考虑(设m为等间隔记录有卫星坐标的历元数):
　　①当mn+1时，可以将其视为应用广播星历计算得出的卫星坐标文件;
　　②当m<n+1时，对精密星历提供的坐标数据运用拉格朗日时间多项式进行内插，至少内插n-m+1个时刻的卫星坐标，内插数据与精密星历提供的坐标数据一起组成轨道标准化所需的卫星坐标文件。
　　为了便于后述步骤的说明，仅以x分量为例加以说明。
　　将（k=1，2，3，•••，m，mn+1）视为观测值，列出m个误差方程：
　　(k=1,2,3,•••，m)（3—4）
　　其中和的关系式如式（2—30）所示，的形式如式（2—31）所示，则误差方程的矩阵展开式为：
　　（3—5）
　　令
　　（3—6）
　　（3—7）
　　则有简化的矩阵表达式
　　（3—8）
　　应用最小二乘平差法中的间接平差，可以得出法方程为
　　（3—9）
　　则关于x分量的切比雪夫多项式拟合系数为
　　（3—10）
　　至此，X各个分量便为切比雪夫多项式拟合系数。同理，对y，z分量完成上述类似的计算便可以得到关于某一GPS卫星在[,+]时间区间内各坐标分量的切比雪夫多项式拟合系数（i=0，1，2，3•••，n），将（i=0，1，2，3•••，n）记入标准化星历文件，便可以利用这些系数并估计上述公式计算出[,+]时间区间内任意时刻的卫星坐标。
　　4实例分析
　　为了探讨切比雪夫多项式的次数与拟合精度的关系，做了如下实验。多项式的次数与拟合标准差的关系如表1所示:
　　表1切比雪夫次数实验结果
　　切比雪夫多项式次数 x分量拟合中误差（mm） y分量拟合中误差（mm） z分量拟合中误差（mm）
　　5 1998.551 1859.442 856.892
　　6 48.898 57.704 16.643
　　7 1.728 1.991 0.265
　　8 4.47E-02 2.368E-02 1.334E-02
　　9 2.95E-04 1.073E-03 3.543E-05
　　10 1.15E-05 1.217E-06 1.185E-05
　　11 3.325E-06 3.020E-07 6.078E-06
　　12 2.271E-06 0.087E-07 2.342E-06
　　13 3.322E-06 2.183E-07 2.556E-06
　　14 3.124E-05 7.983E-06 5.589E-06
　　15 4.639E-05 2.341E-04 5.760E-05
　　由表1可知，在一定的范围内，多项式次数取得越高，拟合精度越高。但是超出一定的范围后，多项式次数越高，拟合效果反而越差。
　　为了验证卫星位置的计算原理。本文用美国加洲7dom0010测站2004年1月1日的广播星历直接计算出了卫星位置，同时用8阶切比雪夫多项式拟合了IGS网站提供的2004年1月1日0时—3时的精密星历文件。计算结果如表2所示:
　　表2卫星位置计算结果
　　发射时刻 卫星号 坐标 广播星历结果 精密星历结果
　　33345599.932 5 X -13174602.250 -13174601.192
　　  Y -21118643.979 -21118646.528
　　  Z 9378185.387 9378184.525
　　33345659.932 5 X -13176116.10 -13176114.946
　　  Y -21192873.994 -21192876.759
　　  Z 9210300.257 9210299.234
　　5结论
　　本文主要研究了利用广播星历和精密星历进行卫星位置计算和利用切比雪夫多项式标准化卫星轨道的方法及软件实现。通过上述的实验结果及分析可以得出结论：在本程序中，在本程序中，无论利用广播星历还是利用精密星历计算出的卫星位置，都能够满足精度的要求。对于上述的卫星位置计算和卫星轨道标准化方法，有下面几点注意：
　　（1）在应用拉格朗日插值多项式对精密星历进行所需时刻的插值计算时，由于多项式阶数不能取得太高，在一个观测时间跨度较大的观测时段内，不能将观测时段内精密星历中的所有数据用于插值计算，而只是部分的数据参与了运算，这就白白浪费了一些有用信息。
　　（2）在利用切比雪夫多项式标准化卫星轨道的过程中，在一定的范围内，多项式次数取得越高，拟合精度越高。但是超出一定的范围后，多项式次数越高，拟合效果反而越差(虽然拟合的精度还是很高，但对于节省计算量、节省系数存储空间来说，多项式次数取得高，拟合结果精度反而下降是不可取的。)。
　　参考文献
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　　[4]常庆生,唐四元,常青.GPS测量的误差及精度控制[J]测绘通报,2000,(04)