从稳定性的视角析两种GPS坐标转换方法

　　摘要:主要探讨了GPS坐标转换的方法,对两种不同的转换方法进行了数值稳定性和精度分析,结果表明:空间七参数转换方法可适用于大范围的坐标转换,但方程经常病态,稳定性差,平面相似变换法方程相对稳定,但只适用于小范围的坐标转换。
　　关键词:GPS 技术,坐标转换,方程稳定性,精度
　　0.引言
　　GPS技术已经被广泛应用到各种测量中,并可得到高精度的两点间的基线向量,如果已知某点的高精度空间坐标或者和IGS站连测,就可以得到各个控制点的高精度空间坐标。由于GPS得到的是基于WGS84坐标框架下的坐标,而有时我们需要的是北京54坐标、西安80坐标或者其他坐标,因此坐标转换是我们经常遇到的一个问题,坐标转换包含两个方面的内容,即坐标系转换和坐标基准转换。而坐标转换的精度和稳定性一直是此项工作的关键。
　　本文主要探讨了将GPS测得的WGS84坐标转换到国家坐标系(如54坐标系或80坐标系)和独立坐标系的算法。通过实际数据,定性的分析了空间转换方法和平面转换方法的精度和稳定性。
　　1.原理与方法
　　布尔沙模型是空间七参数坐标转换常用的数学模型,其表示如下:
　　
　　其中,下标1,2分别表示两个不同坐标基准下的空间直角坐标;ΔX,ΔY和ΔZ为三个平移参数;δu为尺度参数;εX,εY和εZ为三个旋转欧拉角。在实际计算过程中,由于所计算的转换参数为7个,所以至少应当有3个重合点。若有n(n≥3)个重合点,则应有3n个误差方程,其误差方程式为:
　　
　　则可得转换参数的最小二乘解:
　　X=(ATA)-1ATL(3)
　　需要注意的是由式(3)计算所得到的转换参数,一般平移参数为几十米到数百米,尺度参数量级约为10-6,而旋转参数约为10-5量级甚至更小,点的空间坐标的量级约为106,其差别较大。
　　在实际计算过程中,为改善参数计算精度、提高方程的稳定性、防止计算误差累积,需对转换参数的单位进行换算,一般旋转参数以秒为单位,尺度参数以ppm为单位。
　　2.平面相似变换模型
　　坐标基准的转换也可以通过平面相似变换的方法实现,其坐标转换的模型如下:
　　
　　其中,下标1,2分别表示两个不同坐标系下的平面坐标;Δx和Δy为两个平移参数;δu为尺度参数。由式(4)可知,为解得转换参数,至少应当有两个重合点,当有多余两个重合点时,可采用最小二乘的方法得到转换参数,若有n(n≥2)个重合点,则可以列立2n个误差方程式,其矩阵形式如下:
　　
　　需要注意的是利用平面相似变换进行坐标基准转换时,要使用相同的投影高程基准面和相同的中央子午线经度,也就是将大地坐标或空间直角坐标转换为平面坐标时,要选择相同的投影面,这样可以提高坐标转换的精度。
　　3.方程稳定性分析
　　对于坐标基准转换方法,如果测区范围太小,重合点分布不均匀往往会引起转换参数强相关,进而造成误差方程式(2),式(5)病态。重合点微小的测量误差都会导致转换参数有很大的误差。如果误差方程式(2)和式(5)是病态的,则系数矩阵A的特征值单调地趋向于0,最小二乘方法无法得到满意的参数估值,为了提高转换参数的解算精度,或者根据误差方程的稳定性来选择不同的坐标转换方法,需要分析所采用转换方法的数值稳定性,可对方程式(2)和式(5)中的系数矩阵A作SVD(SingularValueDecomposition)分解,即:
　　
　　如果观测方程式(2)和式(5)是病态的,则由式(7)分解所得到的系数矩阵A的特征值中,最小的将趋向于0,而且最大和最小的特征值的比值非常大。通过本方法可以很好的判定方程的状态,进而选择合适的数据处理方法和重合点,以期得到稳定的参数估值,除此之外,法方程系数矩阵的条件数也是判定方程解稳定性的指标之一。
　　
　　本文采用某一区域的控制网数据,选择该控制网中均由GPS测得的WGS坐标和北京坐标的控制点为实验数据,共有7个点,其最远两点间相距约20km。在实际计算过程中,我们可以根据已有重合点的数量和分布情况合理选择坐标转换方法。对于大区域的坐标基准转换只能用空间转换方法,平面相似变换并不适合,但小区域转换时,空间
　　转换方法往往病态性比平面相似变换方法要严重。
　　参考文献：
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