摘要：设计一款屈曲板型准零刚度隔振器，该隔振器由竖直的橡胶垫和屈曲的弹簧钢板组合而成.为便于分析该隔振器的刚度特性，基于Abaqus软件分析和 Matlab拟合给出力与位移的近似表达式.通过理论分析，给出该系统出现准零刚度时，竖直橡胶垫需满足的刚度条件.依据谐波平衡法研究了阻尼对系统动力学特性的影响，得到了系统的力传递率，并对其隔振性能进行了评估.结果表明，屈曲板型准零刚度隔振器能够显著提高低频段的隔振效率;在适当的阻尼情况下，该准零刚度隔振系统没有共振问题.
关键词：工程师职称评定论文,准零刚度,屈曲板,振动分析,低频隔振
Design and Characteristic Analysis of a Buckling Plate
Vibration Isolator with Quasizerostiffness
XU Daolin，CHENG Chuanwang， ZHOU Jiaxi
(State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan Univ， Changsha， Hunan410082， China)
Abstract：This paper presented the prototype of a buckling plate vibration isolator with the propitious characteristic of quasizero stiffness (QZS). The isolator was devised by combining a rubber pad with a buckling steel plate. To facilitate the analysis of the characteristics of the QZS isolator， an approximate expression of force and displacement was formulated on the basis of Abaqus analysis and Matlab tool. Analytical result reveals the stiffness criterion of the supporting rubber for the QZS system. The force transmissibility of the vibration isolation systems was derived in the harmonic balance method (HB)， and the effects of the damping were investigated for the performance evaluation of the systems. The results show that the QZS isolator can outperform the linear system in low frequency domain， and there is no involvement of resonance when damping is set properly.
Key words：quasizerostiffness(QZS);buckling of the plate;vibration analysis;lowfrequency vibration isolation
众所周知，大多工程应用上的产品都受到了振动的破坏和影响[1].使用被动的减振器是我们常采用的减振方法[2].减振系统发挥作用的前提条件是，外界的激扰频率必须大于系统2倍固有频率[1-2].由于隔振系统的固有频率与弹簧的刚度成正比，所以弹簧的刚度越小，隔振系统的固有频率也就越小，隔振频带被拓宽，但同时会带来很大的静位移，使得隔振系统容易不稳定[3-4].近几十年来，人们尝试用一种QZS隔振系统来解决这个弊端[5].QZS系统具有较低的动态刚度和较高的静态刚度的特性，在静平衡位置处的动刚度为零[1-2，6]，满足系统低的静位移和低的固有频率的特性.
实现QZS 特性通常是并联正刚度与负刚度机构.准零刚度隔振系统的经典设计形式是用两根对称倾斜的弹簧和竖直线性弹簧组合来实现[1-2，6].其他的形式包括周加喜等[7]利用4根斜弹簧和一根竖直弹簧组合.徐道临等[8]采用气动式可调弹簧来设计QZS系统.Platus等[9]利用弹簧和受轴压的梁进行组合设计.使用正倒摆并联[10];利用具有软弹簧特性的高度变形的挤压环[11-12].Carrella等[13-15]使用磁力弹簧的特性来设计QZS系统.徐道临等[16]使用磁性弹簧制作QZS系统，并用试验证明其具有良好的低频隔振效果.
综合以上隔振器的设计特点，本文提出一种新颖的QZS隔振系统设计方案，该QZS隔振系统由一块屈曲的弹簧钢板(负刚度)和一块竖直橡胶垫(正刚度)组成.另外，屈曲的弹簧钢板和橡胶垫之间装配简单，结构紧凑，可调节，使用方便.
本文将给出该新型隔振系统的详细设计方案.首先，基于Abaqus软件分析和Matlab仿真，给出QZS隔振系统力与位移的近似表达式与系统的刚度曲线.其次，通过理论计算，找出系统准零刚度的特性出现时，竖直橡胶垫需满足的关系.最后，利用谐波平衡法，对其进行动力学分析，给出力传递率近似解析表达式，根据阻尼比对传递率的影响，评估系统的隔振性能. 1准零刚度隔振器模型
通常情况下，QZS系统特性的实现是通过把正刚度单元和负刚度单元并联起来.本文将屈曲的弹簧钢板和竖直橡胶垫组合，设计一款新型准零刚度隔振器，其结构示意图如图1(不考虑被隔振设备)所示.
图1描述的是准零刚度系统的初始状态，在A点，一块刚度系数为k的无压缩竖直橡胶垫与一块屈曲的弹簧钢板相连接.x表示被隔振设备从A点开始在竖直方向上所产生的位移.当被隔振设备置于A点时，竖直的橡胶垫被压缩，屈曲的弹簧钢板向下产生位移.通过合理参数设计，在质量块的静载作用下，当A点到达B点，位移为x=h时，B点就是该准零刚度系统的静平衡位置.此时，屈曲的弹簧钢板面处于水平状态.在这种情况下，被隔振设备的质量完全由竖直橡胶垫所支撑.此时，屈曲的弹簧钢板在垂直方向上提供负刚度，而竖直橡胶垫则提供正刚度，两者属于并联关系.本文研究的重点是被隔振设备在静平衡位置附近的微幅振动情况.
根据系统的结构示意图，建立其在静载(被隔振设备)作用下处于平衡位置的实验装置模型图，如图2所示.屈曲的弹簧钢板上面放置着被隔振设备，其中钢板的周边被限制在一个调节箍环里，调节箍环放置在带有凹槽的底座上.调节箍环的作用是调节钢板的屈曲量大小.竖直的橡胶垫直接与钢板接触，并且下面连接着推力球轴承和调节机构.底部调节机构可以调节橡胶的预压量，以便实现准零刚度条件.推力球轴承是为了减小调节的阻力.
1.1屈曲钢板的Abaqus分析
考虑图1所示的准零刚度系统，将中间的竖直橡胶垫移去，用Abaqus软件分析屈曲钢板(负刚度单元)的力学特性.符号h代表屈曲后的钢板在初始状态时从A点到B点的垂直距离.为了探索钢板屈曲后的载荷与位移关系，设置钢板的初始缺陷位移为0.2 mm，并将钢板的周边进行固定，加温度场使钢板屈曲，再给屈曲后的钢板逐渐施加位移约束x，直至钢板达到另一个屈曲的稳态，在此过程中记录约束力载荷f的变化情况.因此，可以得到约束力载荷f与位移x的关系曲线图，进一步求导得出屈曲钢板的刚度曲线图.屈曲钢板的力与位移的关系曲线如图3所示，刚度曲线如图4所示.
从图3和图4中可以看到，弹簧钢板屈曲之后，施加一个载荷，使之从一个屈曲稳态跳到另一个稳态时，屈曲的钢板出现了负刚度的特性.
1.2屈曲钢板准零系统的Abaqus分析
同时考虑竖直橡胶垫的正刚度和屈曲钢板的负刚度作用，如图1所示的准零刚度系统，用Abaqus软件分析屈曲钢板准零系统的力学特性.同样设置钢板的初始缺陷为0.2 mm，加温度场使钢板屈曲，此时给准零系统施加一个垂向力，选择适当弹性材料的橡胶垫，使得屈曲钢板呈水平状态时，力与位移的关系曲线出现水平拐点，如图 5所示.这个拐点就是准零系统的平衡点，对应的垂向力是产生准零条件的额定静载荷，在平衡点的系统刚度近似为零，如图6所示.
由图5和图6 可知，当给屈曲钢板并联一个适当的竖直橡胶垫时，屈曲钢板准零系统在平衡态会出现零刚度的特性，我们通常称这个位置为系统的平衡位置.在平衡位置附近振动，系统始终表现出微刚度的特性.出现这种特性的原因是竖直橡胶提供的正刚度与屈曲钢板产生的负刚度在平衡位置刚好抵消.
1.3力与位移关系近似表达式
为了方便后续的准零刚度系统动力学分析，必须得到屈曲钢板准零系统的力与位移关系曲线(图5)的数学表达式.通过Abaqus中分析出来的QZS系统的力与位移关系曲线图，假设一个幂级数函数，采用最小二乘拟合法，通过Matlab拟合出准零系统的力与位移的表达式为：
f=7.5×1010y3+3.2×107y2+1.2×104y-16 200.(1)
式中：y=x-h，y为系统的位移;f为系统的受力.
图7给出了Abaqus分析数据和Matlab最佳拟合曲线.由图7可知，分析数据和最佳拟合曲线吻合得非常好，式(1)满足工程设计精度.
1.4准零刚度隔振系统的刚度
由图6的曲线趋势可知，屈曲板准零刚度隔振系统的刚度曲线可以用一个二次多项式来近似表达.通过导数概念可以知道，如果屈曲板准零刚度隔振系统的力与位移关系能表示成一个三次多项式，那么QZS系统的动力学分析将会变得容易很多.因此，可以将QZS系统力与位移的关系曲线经过纵坐标平移，采用最小二乘拟合法，拟合成一个三次多项式如下：
f=7.56×1010y3.(2)
图8给出了QZS系统力与位移关系的三次方最佳拟合曲线.由图8可知，力与位移关系和三次方最佳拟合曲线也吻合得比较好，满足工程设计精度.
那么，准零刚度系统的刚度近似表达式为：
KQZS=dfdy=2.27×1011y2.(3)
式(3)中只有y的平方项，故在进行后续动力学分析时刚度的解析表达式可以用近似表达式来替代，这样大大简化了计算.
2动力学分析
2.1准零刚度隔振系统的动力学分析
从前面的分析可知，QZS在其静平衡位置附近刚度趋近于零.为了保证质量为m的被隔振设备放于QZS系统上时，系统处于平衡位置，即钢板压至水平状态.此时，被隔振质量完全由被压缩的竖直橡胶垫支撑，被隔振设备质量m要满足条件：
f=kh=mgm=kh/g.(4)
式中：k为竖直橡胶垫的刚度.
准零刚度隔振系统包括被隔振设备，屈曲弹簧钢板和竖直橡胶垫.当在被隔振设备上作用一个幅值大小为f0的激扰力时，可以进行如下3个假设：1)系统的回复力表达式可以用迈克劳林级数的3阶进行展开;2)系统在平衡位置时具有零动刚度的特性;3)被隔振设备始终在平衡位置附近进行微幅振动.因此，在简谐波激扰力的作用下，系统的动力学方程可以近似写成不含线性项的达芬方程.进行无量纲化后，系统的动力学方程可以表示为： ¨+2ζ・+γ3=cos (Ωτ).(5)
=y/r，ω20=k/m，τ=ω0t，γ=ar2/k，
ζ=cω0/2k，Ω=ω/ω0，=f0/kr，
式中：y为系统的位移;r为屈曲板的半径;c为系统的阻尼;m为被隔振质量;f0为简谐激励的幅值;ω0为简谐激励的频率;k为竖直橡胶垫的刚度;a为力与位移三次方关系曲线系数.
谐波平衡法在求解强非线性方程时具有适用性和简单性等优点[17].因此，在本文中，我们运用谐波平衡法[18]对式(5)在激扰频率时的响应进行求解.用单谐波平衡法来求解非线性振动方程在大部分情况下是可行的，在国际上也是通用的[1，2，6，19]，只在小部分情况下会产生较大误差.本文假设外界激扰频率在系统的响应频率中占主导地位，那么可以将式(5)的解设为=Acos (Ωτ+j)，因此系统的幅频曲线方程为：
(2ζΩA)2+(34γA3-Ω2A)2=2.(6)
根据文献[19]的方法，得出系统的向下跳跃频率Ωd为：
Ωd=(3γ16)1/4ζ.(7)
激振力的幅值为，传递至基础的力为：
ft=γ3+2ζ・=γA3cos 3(Ωτ+j)-
2ζΩAsin (Ωτ+j). (8)
那么该传递力幅值应为：
Ft=4ζ2Ω2A2+916γ2A6.(9)
传递至基座的力幅值与激扰力幅值的比值称为力的传递率.所以，可以将力的传递率近似表示为：
T=Ft=4ζ2Ω2A2+916γ2A6/.(10)
从式(10)可以看出，QZS的传递率随着阻尼比ζ的变化而变化.下面将以数值仿真的形式来展现阻尼比对系统力传递率的影响.
阻尼比ζ对系统力传递率的影响趋势如图9所示.从图中可以清楚地看到，阻尼比对系统的振动衰减性能很敏感.当阻尼比ζ=0.005时，传递率曲线在很大程度上向右弯曲，这表明阻尼比过小时衰减结果并不理想.当阻尼比ζ=0.01时，共振区附近的振动显著减小，衰减频域被拓宽，但是高频区的衰减效果变差. 当阻尼比ζ=0.1时，共振峰完全消失，准零刚度系统不会像线性系统那样经历共振问题，这是该系统的优点.
图9当γ=5.3，=0.01时，
阻尼比ζ对系统力传递率的影响
Fig.9The magnitude of the force transmissibility
forγ=5.3，=0.01 and different values ofζ
2.2准零刚度隔振系统隔振特性
为了体现QZS隔振系统的隔振特性，可以将之与线性系统的隔振性能进行对比.假设QZS隔振系统的各项参数满足式(4)，两种系统的被隔振设备的质量相同.从式(10)可知，QZS隔振系统的传递率与系统参数γ成正比，γ的值越小，QZS隔振系统的传递率就越小，隔振效果越显著.当系统的固有频率大于向下跳跃频率，即Ωd<1时，由于向下跳跃频率是QZS隔振系统起始减振的频率，所以，此时QZS隔振系统的隔振性能是优于线性隔振系统的，外界激扰力幅值大小应满足下式：
<4ζ3γ.(11)
图10为QZS系统和线性系统的传递率比较图.从图中我们可以比较线性系统与准零刚度隔振系统的隔振效果.假设系统的阻尼比ζ=0.01，无量纲的激扰力为=0.01，被隔振设备质量m=10.从图10中我们可以清楚地看出 QZS隔振系统的隔振频带大大宽于线性隔振系统，QZS隔振系统的隔振效果明显优于线性系统.
线性隔振系统开始减振，必须在外界激扰频率大于2倍固有频率的情况下.但对于非线性隔振系统，只需在外界激扰频率大于跳跃频率之后，即可产生减振效果.在相同的外界激扰力的作用下，线性系统的固有频率要高于QZS隔振系统的跳跃频率.只要激振力的大小满足不等式(11)，准零刚度系统都优越于线性系统.只要增大阻尼比系数ζ、减小激扰力幅值大小、减小非线性项系数γ，均可以使QZS系统的向下跳跃频率Ωd减小，且使其远远小于线性隔振系统的固有频率，从而大大拓宽了减振频带，实现了低频隔振.
3结论
本文针对低频隔振，采用一种屈曲弹簧钢板的负刚度机构与橡胶垫正刚度机构组合，设计了一种屈曲板准零刚度非线性隔振器.这种隔振器的特点是在静平衡位置附近具有高静低动刚度特性.通过Abaqus分析和Matlab拟合得到了准零系统的力与位移关系表达式，从而求出了系统各参数之间与竖直橡胶垫的刚度系数的关系.通过Matlab数值仿真，详细地分析了该QZS系统的隔振特性，并与线性隔振系统进行了力传递率的比较.屈曲板准零刚度非线性隔振器相对于线性隔振系统具有2个突出优点：1)能够显著提高低频段的隔振效率;2)在适当小阻尼下，准零刚度系统没有共振问题.
参考文献
[1]CARRELLA A，BRENNAN M J，WATERS T P.Static analysis of a passive vibration isolator with quasizerostiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2007，301(3/5)：678-689.
[2]KOVACIC I，BRENNAN M J，WATERS T P.A study of a nonlinear vibration isolator with a quasizero stiffness characteristic[J].Journal of Sound and Vibration，2008，315(3)：700-711.
[3]RIVIN E I.Passive vibration isolation[M]. New York：ASME Press，2001：100-105. [4]HARRIS C M，PIERSOL A G.Shock and vibrations handbook[M]. New York：McGraw Hill，2002：85-90.
[5]IBRAHIM R A.Recent advances in nonlinear passive vibration isolators[J].Journal of Sound and Vibration，2008， 314(3/5)：371-452.
[6]CARRELLA A，BRENNAN M J，KOVACICB I，et al.On the force transmissibility of a vibration isolator with quasizerostiffness[J].Journal of Sound and Vibration，2009，322(4/5)：707-717.
[7]周加喜，张月英，徐道临. 准零刚度隔振系统的非线性动力学特性[J].中国科技论文在线，2013.
ZHOU Jiaxi，ZHANG Yueying，XU Daolin. On nonlinear dynamics of the quasizero stiffness vibration isolation system[J].Sciencepaper Online，2013.(In Chinese)
[8]徐道临，赵智，周加喜. 气动式可调准零刚度隔振器设计及特性分析[J].湖南大学学报：自然科学版，2013，40(6)：47-52.
