板壳结构计算理论与方法研究概述

　　摘要：板壳分析是现代固体力学的一个重要分支。这门学科几乎与一切工程设计都有关联,对航天、航空、航海、机械、石化、建筑、水利、动力、仪表、交通等工程设计,尤其具有指导意义。现今,经典的薄板壳线性理论已较成熟,并在各种工程设计中起着指导作用。然而,在薄板壳非线性领域和厚板壳线性领域,还有许多问题未被解决。文章介绍了这门学科发展历史上的计算理论和计算方法。
　　关键词：板壳；理论；方法
　　0引言
　　板壳结构分析是现代固体力学中特别引人注目的一个分支,近几十年,随着科学技术的突飞猛进,其发展异常迅速。这门学科几乎与一切工程设计都有关联,对航天、航空、航海、机械、石化、建筑、水利、动力、仪表、交通等工程设计，尤其具有指导意义[1]。
　　板壳是平板和壳体的总称，是最常见的物体形式。其外形特点是厚度比其余两个方向尺寸在数量级上小得多。平分物体厚度的分界面称为中面。若中面是平面,则称此物体为平板;若中面是曲面,则称此物体为壳体。
　　板壳结构分析包括板壳静力学和板壳动力学两大部分。板壳静力学是研究板壳在静荷载作用下所产生的应力和变形,亦即通常所说的刚度、强度和稳定问题。通过分析计算,使板壳设计得既美观大方,又安全经济。板壳动力学是研究板壳在动荷载作用下结构的反应。其中一个重要问题是板壳的振动问题。
　　按照隶属的理论范畴,当板壳弯曲变形时,若其挠度相对于厚度是小量,所建立的微分方程属线性性质,则纳入板壳线性理论范畴；反之,若挠度不是小量,所建立的微分方程属非线性的,则纳入板壳非线性理论范畴。
　　1板壳小挠度理论
　　1.1板壳小挠度理论的建立
　　板壳的形式千变万化，组以它们的材料也是多种多样，既有金属，也有非金属。要想找出它们受力特性的一般规律，首先就必须把复杂的现象加以简化和概括，进行科学的抽象，抓住主要因素，撇开那些非本质的次要因素。经过长期的摸索，人们提出了些基本假设。在在薄板和薄壳的前提下，这些假设是[2]：
　　(1)假设板壳是均匀的、连续的，并且是各向同性的；
　　(2)假设板壳是线弹性的；
　　(3)假设板壳的变形是微小的；
　　(4)直法线假设；
　　(5)假设法向应力很小；
　　此外，对于薄板的小挠度问题，尚需增加下面一个假设：
　　(6)假设板的中面没有变形。
　　板壳理论作为固体力学的一个重要分支[3]，其小挠度理论的建立、发展和成熟于十九世纪。从平板的挠曲微分方程和边界条件的正确推导得到薄壳弯曲理论的建立，从双重富里叶级数解法的提出到单三角级数解法的成功，标志着板壳小挠度问题已得到满意的解决。
　　十九世纪，在求解板的小挠度问题上，成功地获得解析解的只有纳维叶的双重富里叶级数解和李维的单三角级数解。严格说来，这两个解也是近似的。但是，人们认为它们是经典的解析解，并以此作为基准去衡量检验其它解法的正确性。事实上，这两个解的构思方式和所得结果确实是其它解法无法比拟的，它既易于实现边界条件，又能以简洁规则的显式表示解的形式，将力学问题转化为明了的级数求和计算。三角级数解法出现之后，人们曾考虑是否存在有比三角级数更有效更适用的其它函数去作为求解板壳问题的挠曲函数，一个多世纪中，他们广泛地寻找了梁函数、振型函数、样条函数、贝塞尔函数、幂级数和切比雪夫多项式等去实践去验证，结果是：最简捷、最早成功的方法是最好、最有效的方法。
　　1.2线性理论的力学模型
　　梁与壳的力学模型与三维固体模型的主要区别[4]，在于三维固体力学认为每一个质点均有三个独立的线位移，从而构成一个线位移矢量。但梁与壳则是简化了的力学模型，一个位移矢量还不足以描述其弯曲变形。所以还对在梁中轴线或壳中面上的点额外引进了三个独立的角位移，构成一个角位移矢量。在壳的理论中有不考虑剪切的Kirchhoff理论和考虑剪切的Mindlin理论。Kirckhoff理论认为原先垂直于中曲面的法线在变形后仍互垂，因此也就必然导出了壳的挠度与转角间具有微分关系。反之，Mindlin理论否认这个互垂关系，也就导出了壳的挠度与转角间是完全独立的。在有限元方法没有出现前，Timoshenko梁理论和Mindlin板壳理论并没有得到重视与普及。但在有限元方法出现后，由于Timoshenko梁理论和Mindlin板壳理论的控制方程阶数较低，更容易构造协调单元，所以得到了普遍的应用。显然，Timoshenko梁理论和Mindlin板壳理论也不是精确的理论，他们都是引进了某种简化假设使三维问题降阶为一维或二维的理论。
　　2板壳大挠度理论
　　2.1板壳大挠度理论的建立和进展
　　板壳大挠度理论是由著名理论物理学家罗伯特•克希霍夫在正确解决了板的小挠度问题的基础上于1877年首先提出来的。科学的产生和发展是由生产决定的，进入二十世纪，由于船舶、飞机和其它工程结构物上广泛应用薄壁构件，促使人们对板壳非线性力学问题进一步研究。1902年，俄国造船工程师H•Γ•布勃诺夫在研究水压力作用下船体外壳的强度计算时，将外壳视为狭长板条大挠度弯曲，获得了非常实用的结果；1907年，A•虎勃将板中面应力作为应力函数，简化了薄板大挠度一般方程；19l0年，Von•卡门在综括前人各研究成果的基础上，经多次实验和推究，消除了要求板很薄的限制条件，导出了平板弯曲的大挠度非线性微分方程组，这就是二十世纪著名的“卡门方程”。至此，从1820年L•纳维叶第一个提出满意的平板弯曲理论到1910年Von•卡门建立板的大挠度微分方程，历经近一个世纪科学家们的探索，终于奠定了板壳理论作为一门独立学科的理论框架。
　　2.2求解卡门方程组的有关方法
　　板壳大挠度微分方程组的求解难度在于其方程中有几项呈非线性，这种非线性是由其物理特征决定的。当板或壳受载弯曲，挠度大到与其厚度同数量级时，变形与受力的关系实质上是非线性的；当载荷大到使其处于过屈曲平衡时，非线性导致了实验值与理论值之间的巨大差异。当年Von•卡门和钱学森发现了这个差异的原因是过屈曲平衡时变形对试件微小的初始缺陷极为敏感。这些非线性特征从数学和物理上决定了求解板壳大挠度问题解析解的困难性。正因为如此，卡门方程自建立以来，除个别的特定载荷、特定形状在特定边界条件下的精确解获得成功外，一般情况的解答至今仍在探索之中。
　　五十年代，沃耳密尔把求取扁壳在各种边界条件下弯曲问题的精确解列为柔韧壳理论发展上迫切需要解决的问题，时逾四十年，仍未见有突破性进展的报道。由于工程应用的需要，人们几十年来对卡门方程的求解通常采用数值近似方法，惯常用的是逐步逼近法。虽然逼近迭代方式可多种多样，但核心都围绕两点：一是忽略非线性项的影响去确定迭代初值，二是利用伽辽金法去确定所设函数的待定系数。
　　2.3近似非线性理论
　　由于梁板壳结构的几何特征，其三个方向的长度相差甚大，固然带来结构轻巧的优点，但也往往伴随有巨大的变形。特别是当今新型结构中更为如此，例如：卫星天线、机器人手臂、飞机的机翼、汽车外壳等。虽然常规结构如房屋、桥梁等一般不允许产生大变形，但对一些重要建筑物在抗震设计时，要考虑到中震可修、大震不倒的原则，这就必须研究梁板壳结构在大变形时的力学特性。最早研究大变形问题的是VonKarman，他认为最能表征梁板壳大变形特征的是在变形时产生了较大的转动(事实上还应考虑大曲率)，即θ=dv/dx的二次项是一个不容忽视的量，凭了他天才的直觉，他在壳的中面(梁的中轴线)线位移上又加了(dv/dx)2/2的非线性项。这一项通常称之为VonKarman项，并将线性方程附带有VonKarman非线性项的方程称之为VonKarman方程。研究结果表明，近似理论及其所用的相应的计算方法具有明显的缺点：
　　1)计算量巨大；
　　2)不适合动力问题的求解；
　　3)不适合具有结构稳定、屈曲、分岔问题；
　　4)由于计算步长小，并不断进行位形更新，增加许多中间环节的计算，使计算误差积累，降低了计算精度。
　　应该指出VonKarman方程这一类方程及相应的求解方法几乎整整统治了20世纪．但20世纪是三维固体有限变形理论成熟的年代，这给梁板壳的有限变形理论的出现创造了极为有利的条件。
　　3板壳结构的近似计算方法
　　3.1李兹法
　　李兹法又称为能量法，是常用的近似解法之一。此法的核心就是在精确满足位移边界条件后，对挠度曲面的微分方程的满足给以放松，从而得到问题的近似解。它是从能量的角度来讨论板的平衡问题，所依据的原理就是最小势能原理，即在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，真正的一组位移(即同时满足平衡方程和边界条件)应使总势能成为最小值，即形变势能和外力势能之和成为最小值。
　　3.2伽辽金法
　　伽辽金法与李兹法一样，也是在精确满足边界条件的基础上，近似地去满足挠度曲面的微分方程。不同点有两个：第一，它预先所满足的边界条件不仅包括位移边界条件，而且也包括静力边界条件；第二，不需要计算板的势能。
　　伽辽金法所依据的基本原理是虚位移原理，即一个平衡系统的力对于任意假想的位移做的功等于零。在板的小挠度弯曲理论中，()就是平衡系统的力，就是任意假想的位移即虚位移。依据这一原理，就有
　　(1)
　　如果是挠度曲面微分方程的精确解，则它精确满足上面的方程。
　　3.3有限差分法
　　所谓有限差分方法就是用一组有限差分方程代替微分方程和相应的边界条件的一种数值解法。它使难于求解的微分方程的边值问题转化为易于求解的代数方程组问题。因此，它具有重要的实际意义，应用十分广泛。在计算机迅速发展的今天，此法更是如虎添翼，有了更大的发展前途。
　　有限差分法的优点是方法简单，重复使用晶格模型易于建立差分方程。即使对于曲线形状板，解法仍然有效，只是边界处理稍为复杂一些，但原理仍相同。此法的缺点是要解数量较大的方程组才能获得工程上满意的解答。不过，在计算机广泛使用的今天，这一缺点已逐渐被克服。
　　3.4有限无法
　　有限元法是求解工程和物理问题的一种新的有效数值方法，它在板壳力学中已得到了广泛的应用。有限无法避开问题的微分方程，直接将板壳离散后来求数值解。有限元法的优点是物理概念清晰，数学难度较小，初学者易于掌握，且适用范围大，能处理其它方法感到棘手的问题。电子计算机的飞跃发展给有限无法带来了更大的生命力。力学工作者过去不敢碰的计算难题己迎刃而解。目前，有限元法仍在继续不断地向前发展。
　　有限元法包括位移法、力法和混合法三种。薄板的有限元法的基本思想就是将原来的薄板分割成为有限个小板即单元，然后对每一个小板进行单元分析，最后再重新组合起来成为原来的板。
　　4结论
　　人类已经进入21世纪,世界正面临一场新的技术革命。现代工业、现代国防和现代科技的更大发展,将对板壳结构分析提出更多和更高的要求。显然,目前的理论与方法不能满足这些要求。因此,紧密结合工程需要,推动我国板壳结构分析与应用事业继续向前发展是一项重要任务。
　　参考文献:
　　[1]刘人怀.板壳分析与应用.中国工程科学[J]，2000，2（11）：60-67
　　[2]刘人怀.板壳力学[M].机械工业出版社，1990
　　[3]董文堂，孙锁泰.板壳大挠度问题求解方法的回顾与思考[J].江苏理工大学学报，1995，1（16）：61-64
　　[4]李明瑞.梁板壳的几何大变形[J].力学与实践.2003，25（3）：1-8