摘 要：“弹性力学”课程是工科专业一门重要的专业基础课，课程较为抽象，公式推导较多，学生普遍感觉难学。结合多年课程教学的经验，探讨了“弹性力学”课程中力矩、内力和方向余弦等量的正负号规定，明确说明了极坐标下各坐标轴的正负号规定，这是对教材的有效补充;将相容方程分为应变、应力和应力函数表达式三类并进行了归纳，更便于学生理解;编制了弹性力学平面问题的可视化求解软件，实现对圆筒受均布力、压力隧洞、小孔口问题等十个典型问题的可视化求解，教学效果良好。
关键词：弹性力学;可视化;正负符号;相容方程
一、前言
“弹性力学”课程是工科专业一门重要的专业基础课，是学习塑性力学、土力学的基础，也是工科学生摆脱材料力学杆式构件分析结果的束缚，向板、面和空间体分析拓宽的重要课程。该课程主要是通过考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界上严格考虑受力条件和约束条件，建立微分方程和边界条件来解决力学问题。课程对高等数学中的微积分、偏微分方程求解和级数，以及解析几何、线性代数等知识的依赖性较高，且较为抽象，公式推导较多，学生学习普遍感觉较难。因此，开展“弹性力学”课程教学方法的研讨十分重要。祝方才总结了弹性力学教学中的疑点[1]，论述了符号规定、差分公式和极坐标的推导三个方面的认识，提出了比教材更为清晰的推导过程。潘东辉采用 MATLAB 软件提供的 PDE 工具箱对弹性力学中小孔口问题、圆环受内外压力作用等多个命题进行了计算分析[2]，指出该工具箱的椭圆型偏微分方程的解实质是求解弹性力学平面问题的数值解法，可以方便求解弹性力学的平面问题，并且可以实现结果的可视化，是进行弹性力学教学的有力辅助手段。张伟伟提出了在教学实施中遵循先工程[3]，后数理，再力学的讲解顺序的三段式教学方法，便于学生理解和掌握。这些论述对提升弹性力学课程的教学效果有较大的促进作用。本文针对徐芝伦编著的弹性力学经典教程——《弹性力学简明教程》，结合多年工科专业“弹性力学”课程的教学实际，对课程教学中学生难掌握的几个难点问题进行论述和推导，力求加深教师和学生对这些问题的理解。
二、符号规定
弹性力学求解中均是在一定的坐标体系下进行，对各个变量的符号有较为严格的规定，求解应该在这个符号体系下进行，否则将得到不正确的结果。教材中对于应力、应变和位移，以及面力和体力符号均有明确的规定，但是对于力、力矩、剪力和极坐标下的部分符号的规定不明确，不利于学生的理解和掌握，需要进一步厘清。
(一)力矩 M 的符号规定
教材中讲授平面问题时对于力矩的正负号规定没有明确指出，而只是在讲述薄板弯曲时才明确提到，但是在平面问题中，特别是列出圣维南原理的积分方程中需要明确力矩的正负号。力矩的正负号应该分为应力引起的力矩和外力引起的力矩两类，两者之间是有区别的。对于面力引起的力矩，也应该先将力矩根据其作用方向概化为分布的面力(一般直接概化为直线分布最为简单)，然后依据“面力符号与力臂符号相同时力矩为正;反之为负”的原则进行正负号的判断，见图 1(a)。对于应力引起的力矩的正负规定应该是：“应力符号与力臂符号相同时力矩为正;反之为负”。确定应力引起的力矩正负时，先应该将应力概化为沿正负两侧力臂的分布应力(一般直接概化为直线分布最为简单)，利用以上原则确定力矩的正负号，见图 1(b)。
图 1 看出，力矩 M的方向一致，但是应力引起的力矩的符号为负，而面力引起的力矩为正，两者符号不同，这是在负面上的情况。在正面上两者的符号相同，主要原因是应力和面力符号规定不同造成的，在列出圣维南原理的积分方程是应该注意区分应力和面力引起的力矩的符号区别。
(二)面力和体力的合力及内力的符号规定
应力是单位面积上分布的内力，内力是一种力，等于应力乘以面积。在进行平衡方程推导时，要建立某一个方向上的平衡，也就是通过该方向上合力为 0 这一条件建立平衡方程时，需要确定内力的正负号。内力是一种力，是合力，其符号规定应该是“与坐标轴指向相同的为正，反之为负”。内力的方向与应力的方向一致，但是其符号规定与应力“正面正方向和负面负方向为正，反之为负”的规定不同，在正面上两者相同，而负面上两者相反。其他面力合力和体力合力的正负号规定也是“与坐标轴指向相同的为正，反之为负”。理解这些概念对平衡方程的推导有较大的帮助。
(三)方向余弦的符号规定
方向余弦是求解斜截面应力所必需的参数，其意义在于边界面的外法线方向的正方向与坐标轴正方向之间夹角的余弦值。在教学中发现，很多学生对其正负号如何确定不理解，影响对计算推导掌握。实际上，方向余弦的正负是按照余弦函数计算得到的，要理解其正负规定，应该从夹角的意义理解，特别应该知道两个“正方向”之间的夹角的余弦这句定义。另外根据余弦函数的值的特性可知，不同象限的方向余弦正负不同，第一象限中不论 x 和 y 方向的方向余弦 l 和 m 均为正值;第二象限 x 方向的方向余弦为负值，y 方向为正值;第三象限 x 方向的方向余弦为负值，y 方向为负值;第四象限 x 方向的方向余弦为正值，y 方向为负值。实际判断时应该按照外法线方向所在的象限来判断方向余弦的正负号。
(四)极坐标情况下的符号规定
极坐标与直角坐标是弹性力学求解的两种坐标体系，但是在教学中发现学生对两种坐标体系之间的联系理解不深，应该在讲授中加以说明。实质上，极坐标与直角坐标之间是紧密相关的，极坐标的方向离不开直角坐标;两者之间的量是可以相互转化的，也有密切的关系。极坐标中径向 ρ 的正向就是从原点向外射线的方向，而环向 φ 的正向决定于相应的直角坐标的 x 和 y 轴的方向，即以 x 轴转向 y 轴的方向为正，不能按照逆时针或者顺时针为正来确定，同时 φ的大小是径向射线正向与 x 轴之间的夹角。
三、相容方程的归纳
相容方程是应力法求解弹性力学问题的重要方程，引入应力函数后问题的求解转化为求解相容方程的问题。但是相容方程从几何方程推导出后称为变形协调方程，带入物理方程等后还有用应力表达的相容方程，各类相容方程之间的关系会造成学生理解的偏差，对其进行归纳总结便于学生对其深入理解掌握。对于直角坐标情况，相容方程可以分为应变表达式、应力表达式和应力函数表达式三类，应变表达式是从几何方程中消除位移量后得到的方程，是相容方程的本质方程，也称为变形协调方程;应力表达式是物理方程带入相容方程的应变表达式后得到的方程，表示各个应力分量应该遵循的关系方程;而应力函数表达式是引入应力函数后的表达式，是将求解应力分量问题“消元” 后成为 1 个未知量 φ 后的相容方程。三者的关系与异同可归纳为表 1。
另外极坐标的相容方程教材中给出的表达式为：式中：Φ 为应力函数;ρ，φ为极坐标两个轴。这一个表达式没有展开，在学生进行某一个函数是否满足相容方程的校核中有一定困难，应该将其展开式列出。本文对该式进行了展开如下式(2)和(3)，这样便于学生理解。
四、应力分量的合成与应力泡
王润富编著的《弹性力学简明教程学习》中第四章例题 6 关于劈裂问题的求解是一个很好的例子，对于学生理解半无限平面受集中力作用下应力的分布问题的启发性较好，且是讲解弹性力学解答应用的好例证。但是讲解时应该注意强调两点，其一为应力的合成方法，其二是应力泡的概念。
1.应力分量的合成方法。应力是一个张量，一点的应力要通过过该点的平行六面体上的所有应力分量来描述，这些量值中只有(σx，σv，σz，τxv，τvz，τx)六个量是独 z 立的。同时一点的应力也可以用三个主应力和其方向决定。应力的合成原则是“作用于同一个面上的应力分量可以合成为一个应力全量，不同面上的应力分量不能合成”。只有建立这个概念才能理解应力的特性，也才能做对例题 6。
2.应力泡的概念。集中力 F 作用下半无限平面内过集中力作用点的直径为 d 的圆，这个圆上的应力值为：也就是说在这个圆上任意一点，其受力类似单轴受压，压应力就等于 σp 值，圆周上任意点的应力均相等，且应力值的大小随直径 d 的增大而减小，这就是通常所说的应力泡。讲解时应强调其应力主面就是径向和环向两个面，其应力的方向各点是不同的，应力的大小随着应力泡直径的增大而增大，也就是随深度的增大而衰减。同时应将与大面积堆载时，应力不随深度增大而减小的实际进行对比，强调两者的区别。
五、弹性力学平面问题可视化软件
在“弹性力学”课程的教学中，经常有复杂的数学公式和抽象的计算，不利于学生的理解。倘若在教学中，能够通过一些教学小程序使计算出来的抽象的数值变成一些可视化的图形，教学将变得更加生动，同时也利于学生接受。因此利用 Visual Basic 编程语言的绘图能力，编制了一些简单平面问题的可视化求解软件。主要目的是使一些简单问题的解题结果可视化，辅助教师的教学，使学生能对抽象的计算结果有更加清晰直观的理解，引导学生进行深入思考。软件中选择了悬臂梁受集中荷载、梁受均布荷载、圆筒受均布力、压力隧洞、小孔口问题、平面应力与平面应变问题、边界条件、挡水墙、楔形体、半平面体边界上受集中力总十个典型的问题进行求解。其基本界面展示如下图 2。每一个典型问题软件均实现了正确求解，并可以改变输入参数得到不同的解答。软件将抽象的计算结果转变为可视化的图形呈现给学生，便于学生理解和掌握。可视化求解软件还在教材的基础上补充了教材未涉及的内容。例如：教材上压力隧洞问题中仅展示了 n<1 时应力分布的图像，而求解软件通过改变参数能将 n>1 和 n=1 时的计算结果和图形展示出来，将课本上的抽象计算结果可视化地展示出来，并在教材解答的基础上进行扩展延伸，从而引发学生的深入思考，激发学生的学习兴趣。软件界面分为三部分。第一部分载入这道题目的相关信息，包含题干、问题的示意图和使用半逆解法求解出的应力分量表达式。第二部分为数据输入部分，在这个部分，使用者可以根据需要输入问题的基本参数，为下一步计算应力分量做准备。第三部分为结果输出部分，用于显示计算和绘图的结果。在实际教学中该软件对学生理解弹性力学解的实质内涵，理解应力函数的分布空间规律帮助较大，教学效果良好。
六、结论
1.“弹性力学”课程中诸多符号的正负号规定较为严格，也极易弄错，教材中对其的规定稍显模糊。本文对力矩、面力和体力的合力、内力和方向余弦的符号规定做了较为仔细的规定，并对极坐标下各个坐标轴的正负号规定进行了明确的说明，可用于教学实践。
2.相容方程是“弹性力学”课程较为重要的概念，它有三种表达形式。本文总结归纳为应变表达式、应力表达式和应力函数表达式三类，对其由来和意义进行了归纳说明，更便于理解和把握。
3.为了提高教学效果，编制了弹性力学平面问题的可视化求解软件，软件可以实现对十个较为典型问题的弹性力学问题的求解，如：悬臂梁受集中荷载、梁受均布荷载、圆筒受均布力、压力隧洞、小孔口问题、平面应力与平面应变问题、边界条件、挡水墙、楔形体、半平面体边界上受集中力。软件实现了对计算结果的图形化显示，便于学生理解抽象的函数，教学效果良好。
参考文献：
[1]祝方才，肖宏彬，欧阳建湘.弹性力学教学中的几个疑点问题[J]. 株洲工学院学报，2004，(2).
[2]潘东辉，马崇武.MATLAB/PDE 在弹性力学可视化教学中的应用[J].力学与实践，2014，(4).
[3]张伟伟，田锦邦.弹性力学的三段式教学方法[J].力学与实践，2017，(2).
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