摘 要: 针对一种新的增量随机过程———马尔可夫调制的双分数布朗运动,基于可靠性数学思想,利用测度变换技巧将实际概率测度变换成等价鞅测度,研究了在此模型下连续时间的固定价格亚式期权定价问题; 通过亚式期权所满足的概率密度转移函数,将经典的测度变换方法与拟鞅相结合,并推广到受双分数布朗运动驱动的 B-S 市场环境中,利用风险中性定价方法分别得到具有固定执行价格的几何平均亚式看涨和看跌期权的定价公式; 双分数布朗运动不具有独立性和平稳增量性,更符合显示情形,且与基于分数布朗运动的期权定价公式进行比较分析,可知分数布朗运动只是双分数布朗运动的一种特殊情形,可基于双分数布朗运动对分数布朗运动的亚式期权期权定价模型进行推广。
关键词: 马尔可夫调制; 双分数布朗运动; 亚式期权; 等价鞅测度
0 引 言
随着经济的发展和生活水平的提高,人们有越来越高的经济能力用于投资,由此衍生出来的各种各样的期权定价也越来越受众多投资者和学者的关注。学者研究发现分数布朗运动可以取代标准布朗运动,而双分数布朗运动是比分数布朗运动更一般的高斯过程,适用范围更加广泛。文献[1]利用保险精算的方法给出了双分数布朗运动环境下最值期权的定价。亚式期权又被称为平均价格期权,是一种新型路径依赖型期权,它在到期日的损益依赖于合同期内某段时间标的资产的平均价格,这种路径依赖型期权不仅减少期权到期时市场上的人为操控,也可以准确地反映股票价格变化的趋势,相对欧式期权而言,风险更小。因此研究亚式期权具有较大的现实意义。文献[2]利用拟条件期望的方法,得到了受分数布朗运动驱动的条件下,针对浮动执行价格的几何平均亚式期权定价公式。文献[3]通过 It^ o 公式推导出亚式期权所满足的概率密度转移函数,用无套利定价方法给出了分数布朗运动环境下几何平均亚式看涨期权定价公式。文献[4]利用了正态分布的性质,采用保险精算的方法对连续型几何平均亚式期权进行定价。本文利用马尔可夫调制的双分数布朗运动来描述 B-S 市场中风险资产的价格动态,利用马尔可夫链刻画经济周期中的结构变化,通过亚式期权所满足的概率密度转移函数,采用测度变换技巧将实际概率测度变换成等价鞅测度,利用风险中性定价原理分别得到具有固定执行价格的亚式看涨和看跌期权的定价公式,且可基于双分数布朗运动亚式期权定价模型对分数布朗运动的几何平均亚式期权定价模型进行推广。
1 模型假设
设( Ω,F,P) 为一概率空间,0
2 具有固定执行价格的亚式看涨、看跌期权定价公式
对于固定执行价格的几何平均亚式看涨期权,它的损益为 ξ1 = exp 1 T ∫ T 0 ( ) { } ln Su du - K + ( 3) 令 It = ∫ t 0 ln Su du,则 ξ1 ( = e I t T + 1 T ∫ T t ln SuS -1 t du + T-t T ln St ) - K + = ( XtYt - K) + ( 4) 其中,Xt = e 1 T ∫ t 0 ln Sudu S T-t T t ,Yt = e 1 T ∫ T t ln SuS -1du t 。注意到当前时刻是 t 时刻,则 Xt 是已知的,由式( 2) 可得: Yt = e 1 T ∫ T t ln Su St du = e 1 T ∫ T t ( ∫ u r rsds-∫ u t 1 2 σ2 s ds2HK+ ∫ u t σs [ ] dW 珚HK) du = e 1 T ( ∫ T t∫ T s rsduds- 1 2 ∫ T t∫ T s σ2 s duds2HK) × e 1 T ∫ T t∫ T s σsdudW 珚HK = e 1 T ( ∫ T t rs( T-s) ds- 1 2 ∫ T t σ2 s( T-s) ds2HK) × e( 1 T ∫ T t σs( T-s) dW 珚HK) = e( r* ( t) +Zt ) ( 5) 其中, r * ( t) = 1 T ∫ T t rs ( T - s) ds - 1 2 ∫ T t σ2 s ( T - s) ds 2 ( ) HK Zt = 1 T ∫ T t σs ( T - s) dW 珚HK s 根据双分数布朗运动的定义及性质可得: EQ[Zt FX T]= 0 由分数型等距公式[12]可得: DQ[Zt FX T ) ]= ∫ T t∫ T t ( T - u) ( T - ν) σuσνdudν T2 = σ* 2 T2 其中, σ* 2 = ∫ T t∫ T t ( T - u) ( T - ν) σuσνΦ ( u,v) dudν 那么 Zt FX T ∶ N 0, σ* 2 ( ) T2 ( 6) 令 ut 表示几何平均亚式看涨期权的损益在当前时刻的贴现值,则由式( 3) ( 4) 可得: ut = e -∫ T t rsds ξ1 = e -∫ T t rsds e 1 T ∫ T 0 ln Sudu ( ) - K + = e -∫ T t rsds ( XtYt - K) + ( 7) 令 a =Xter* ( t) ,b = σ* 2 T2 ,将式( 5) 代入式( 7) ,则 ut = e -∫ T t rsds ( aeZt - K) + ( 8) 根据风险中性定价原则,期权的现值就是到期收益的折现值关于等价鞅测度的数学期望,则期权在时刻 t 的价格可以表示为 Ct =E[ut Gt,T ) ],Gt,T = FS t ∨FX T,由此可得如下定理。
2. 1 具有固定执行价格的亚式看涨期权定价公式
定理 1 具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权价格为 Ct = ST e -∫ T t rsds Φ ( d2 ) - Xter* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 ) 其中, d1 = T[ln Xt-ln K+r * ( t) ]+ σ* 2 T σ* = d2+槡b d2 = T[ln Xt-ln K+r * ( t) ] σ* 证明 根据式( 6) 中 Zt 的分布和式( 8) 确定 ut 的分布: Ft ( x) = Q( ut≤x Gt,T) = Q( ξ1≤xe∫ T t rsds Gt,T) = Q( aeZt -K≤xe∫ T t rsds Gt,T ) = Q( Zt≤ln( K+xe∫ T t rsds ) -ln a Gt,T ) = Φ ln( K+xe∫ T t rsds ) -ln a 槡 { } b 随机变量 ut 的期望为 EQ[ut Gt,T ]= ∫ +∞ 0 xdFt ( x) = ∫ +∞ 0 xdΦ ln( K + xe∫ T t rsds ) - ln a 槡 { } b ( 9) 令 y = ln( K + xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b ,则 x = e( 槡b y+lna-∫ T t rsds) - Ke -∫ T t rsds ( 10) 把式( 10) 代入式( 9) 可得: EQ[ut Gt,T ]= ∫ +∞ -d2 e 槡b y+ln a-∫ T t rsds dΦ( y) - ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( y) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡b y dΦ( y) - ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( y) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡b y dΦ( y) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 1 槡2π e - 1 2 ( y-槡b ) 2 + b 2 dy - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d2 + 槡b ) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) = ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d1 ) - Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) ( 11) 将 a = Xter* ( t) ,b = σ* 2 T2 代入式( 11) 即可得: Ct = E[ut Gt,T ]= Xter* ( t) + σ* 2 2T2 - ∫ T t rs dsΦ ( d1 ) - Ke -∫ T t rsds Φ ( d2 )
2. 2 具有固定执行价格的亚式看跌期权定价公式
几何平均亚式看跌期权的损益为 ξ2 = K - e 1 T ∫ T 0 ln Sud ( )u + ( 12) 令 a = Xter* ( t) ,b = σ* 2 T2 ,将式( 5) 代入式( 11) ,则它的损益在当前时刻的贴现值为 νt = e -∫ T t rsds ( K - aeZt ) + 其看跌期权在时刻 t 的价格可以表示为 Pt = E[vt Gt,T],Gt,T =FS t ∨FX T,由此可得如下定理。定理 2 具有固定执行价格的几何平均亚式看跌期权价格为 Pt = ST e -∫ T t rsds Φ ( d2 ) - Xter* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 ) 其中, d1 = T[ln Xt - ln K + r * ( t) ]+ σ* 2 T σ* d2 = T[ln Xt - ln K + r * ( t) ] σ* 证明 同理,由式( 6) 中Zt 的分布和式( 8) 可得损益 νt 的条件分布: Ft ( x) = Q( νt ≤ x Gt,T ) = Q( ξ2 ≤ xe∫ T t rsds Gt,T ) = Q( Zt ≥ ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a Gt,T ) = 1 - Φ( ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b ) 随机变量 νt 的期望为 EQ[νt Gt,T ]= ∫ +∞ 0 xdFt ( x) = - ∫ +∞ 0 xdΦ ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡 { } ω = ln( K - xe∫ T t rsds ) - ln a 槡b 可得: x = Ke -∫ T t rsds - e( 槡bω +ln a-∫ T t rsds) ( 13) 所以 将 式 ( 13 ) 代入看跌期权的价格公式,可得: EQ[νt Gt,T ]= ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( ω) - ∫ +∞ -d2 e 槡bω +ln a-∫ T t rsds dΦ( ω) = ∫ +∞ -d2 Ke -∫ T t rsds dΦ( ω) - ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 e 槡bω dΦ( ω) = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae -∫ T t rsds ∫ +∞ -d2 1 槡2π e - 1 2 ( ω -槡b ) 2 + b 2 dω = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d2 + 槡b ) = Ke -∫ T t rsds Φ( d2 ) - ae b 2 -∫ T t rsds Φ( d1 ) ( 14) 将 a = Xter* ( t) ,b = σ* 2 T2 代入式( 14) ,即可得: Pt = E[vt Gt,T]= Ke-∫ T t rsds Φ ( d2 ) -Xte r* ( t) + σ* 2 2T2 -∫ T t rsds Φ ( d1 )
3 结 论
通过等价-拟鞅测度变换,在市场利率、股票波动率和股票回报率均受 Markov 链调制的情形下得到了双分数 B-S 市场的固定价格几何平均亚式期权定价公式,将经典的测度变换方法与拟鞅相结合,并推广到双分数布朗运动市场环境。在一定程度上,相对多数只研究分数布朗运动或市场利率、股票波动率和股票回报率均为常数的模型有所改进。对于 Markov 链调制的受双分数布朗运动驱动的浮动执行价格的亚式期权定价公式有待进一步研究。
参考文献( References) :
[1] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法( 第二版) [M].北京: 高等教育出版社,2008 JIANG L S. Mathematical Models and Methods of Option Pricing [M].2nd edn. Beijing: Higher Education Press,2008
[2] 李丹,薛红. 双分数布朗运动环境下的最值期权的定价[J]. 宁夏大学学报( 自然科学版) ,2017,38 ( 1 ) : 23—26 LI D,XUE H. Pricing Minimum or Maximum Option in Bi -fractional Brownian Motion Environment[J]. Journal of Ningxia University ( Natual Science Edition) ,2017,38 ( 1) : 23—26
[3] 沈明轩,何朝林. 分数布朗运动环境中几何平均亚式期权的定价[J]. 山东大学学报( 理学版) ,2013,48 ( 3) : 48—52 SHEN M X,HE C L. Pricing of Geometric Average Asian Option in Fractional Brown Motion Environment[J]. Journal of Shandong University ( Natural Science Edition) ,2013,48( 3) : 48—52
[4] 肖艳清,邹捷中. 分数布朗运动驱动下一致连续的 BSDE 解的存在性与唯一性[J]. 应用数学学报,2012, 35( 2) : 245—251 XIAO Y Q,ZOU J Z. Existence and Uniqueness of the Solution to BSDE Driven by Fractional Brownian Motion with the Generator is Uniformly Continuous in z[J]. Chinese Journal of Applied Mathematics,2012,35 ( 2) : 245—251
马尔可夫调制的双分数布朗运动模型下亚式期权定价相关论文期刊你还可以阅读:《数学教学国家级期刊》