摘 要: 针对大学生数学自学能力定量评价的多因素特点，提出了一种基于不确定型层次分析法和白化权函数的大学生数学自学能力定量评价的方法; 首先分析影响大学生数学自学能力的影响因素，建立大学生自学能力指标体系; 其次通过引入最优传递矩阵，使层次分析法中的判断矩阵自然满足一致性，从而得到各级指标的权重; 再次构建基于白化权函数的数学自学能力评价模型，建立白化权函数，求出各级指标的灰色评价权重矩阵; 最后将该模型应用于综合评价大学生自主学习能力; 结果表明: 此模型减少了评价者主观因素的影响，给出了比较客观的评价结果，能够高效地定量评价大学生数学自学能力。
关键词: AHP; 白化权函数; 影响因素; 自学能力评价
0 引 言
随着“大数据”时代的来临，知识更新的速度迅猛发展，任何大学生在学校接受的教育不可能“用之不尽”，所以走出校园之后，也应该“活到老、学到老”，这就要求大学生要具有较强的自学能力。所谓的自学能力是指一个人独立学习的能力，也是一个人获取知识的能力。它是一个人多种智力因素的结合和多种心理机制参与的综合性能力。而对于大学生来说，数学是一门重要的“工具课”，它会应用于将来所从事的各项工作中。因此，当代大学生必须具有终身学习数学的能力，这样才能做到可持续发展。然而，影响数学自学能力的因素是多方面的，只有全面考虑这些影响因素及定量分析其起作用的大小，才能正确地评价自学能力的高低，从而“对症下药”，有效地提高大学生的自学能力。
1 大学生数学自学能力指标体系的构建
通过查阅文献、访问、问卷调查等，遵循科学性、合理性和可行性的原则，综合考虑各方面意见，得出了影响大学生数学自学能力的主要指标，如表 1所示。大学生数学自学能力评价体系是一个多目标、多属性问题，因此可采用层次分析法来确定各因素的权重。如: 王有文[1]研究了基于 AHP 的模糊综合评价模型在大学生高等数学能力评价中的应用。层次分析法虽然能定量分析各因素所起作用的大小，但是它也有不足之处，最突出的问题就是判断矩阵的一致性难以实现。这促使许多学者将改进的层次分析法用于各种评估。如: 胡芬[2]研究了基于改进层次分析法的高职学生创新能力的评价; 赵璐[3]研究了基于最优传递矩阵的不确定层次分析法在玻璃栈道安全性评价中的应用; 郑重等[4]研究了改进模糊层次分析法在采动滑坡稳定性因素评价中的应用; 王建等[5]研究了改进模糊层次分析法在 AUV 总体性能评价中的应用。他们采用改进的层次分析法，使判断矩阵自然地满足一致性要求，而勿需进行一致性检验。另一方面，白化权函数是体现从定性分析到定量描述的关键步骤，它也适合于各种评估。如: 郭小东等[6]、俞素平等[7]分别将白化权函数用于安全性评估和风险灰色评估; 强凤娇等[8]研究了基于区间数观察值的灰色白化权函数聚类模型重构; 陈继光等[9]、曾静等[10]用白化权函数评估水环境质量和大学生亚健康状况。基于他们的研究方法，本文采用不确定层次分析法的思想，使用区间数而不是确定的数来衡量指标因子的重要性，通过引入最优传递矩阵，使判断矩阵自然满足一致性，不需进行一致性检验，并给出评价指标权重的计算步骤。最后通过引入白化权函数，计算并综合评估每个指标的评价权重矩阵。
2 自学能力评价模型的建立
2. 1 计算大学生数学自学能力指标权重
计算步骤如下: ( 1) 由专家构造区间数判断矩阵 A = ( aij ) n×n， aij =[a- ij，a+ ij]; ( 2) 将区间数判断矩阵 A= ( aij) n×n分成两个矩阵 A- = ( a- ij ) n×n，A+ = ( a+ ij ) n×n ; ( 3) 分别计算 B- = ( lna- ij ) n×n，B+ = ( lna+ ij ) n×n ; ( 4) 利用 cij = 1 n ∑ n k = 1 ( bik - bjk ) 将 B-，B+ 化为最优传递矩阵 C- = ( c - ij ) n×n，C+ = ( c + ij ) n×n ; ( 5) 利用 A* = ( e cij ) n×n将 C-，C+ 化为一致性矩阵( A* ) -，( A* ) + ; ( 6) 利用 wi = ∑ n j = 1 a* ij ∑ n i = 1 ∑ n j = 1 a* ij ( i，j = 1，2，…，n) 分别计算出 w- i ，w+ i ，最后 wi = w- i + w+ i 2 。按照层次分析法的 1-9 标度法，由相关专家对表 1 中的指标进行两两比较，分别得到目标层 A 和准则层 B1，B2，B3，B4，B5 的区间数判断矩阵 A，B1， B2，B3，B4，B5 如下: A= [1，1] [1 /5，1 /4] [1 /4，1 /3] [2，3] [3，4][4，5] [1，1] [3，4] [5，6] [6，7][3，4] [1 /4，1 /3] [1，1] [1 /5，1 /4] [1 /6，1 /5][1 /3，1 /2] [1 /6，1 /5] [4，5] [1，1] [2，3][1 /4，1 /3] [1 /7，1 /6] [5，6] [1 /3，1 /2] [1，1 ] B1 = [1，1] [1 /8，1 /7] [5，6][7，8] [1，1] [8，9][1 /6，1 /5] [1 /9，1 /8] [1，1 ] B2 = [1，1] [1 /7，1 /6] [3，4][6，7] [1，1] [8，9][1 /4，1 /3] [1 /9，1 /8] [1，1 ] B3 = [1，1] [1 /6，1 /5] [1 /4，1 /3][5，6] [1，1] [1 /3，1 /2][3，4] [2，3] [1，1 ]
B4 = [1，1] [4，5] [1 /4，1 /3][1 /5，1 /4] [1，1] [2，3][3，4] [1 /3，1 /2] [1，1 ] B5 = [1，1] [4，5][1 /5，1 /4] [1，1 ( ) ]根据上述计算过程式( 1) —式( 6) ，以矩阵 A 为例计算二级指标权重如下: 由步骤( 2) ，把矩阵 A 拆分为 A- = 1 1 /5 1 /4 2 3 4 1 3 5 6 3 1 /4 1 1 /5 1 /6 1 /3 1 /6 4 1 2 1 /4 1 /7 5 1 / 3 1 A+ = 1 1 /4 1 /3 3 4 5 1 4 6 7 4 1 /3 1 1 /4 1 /5 1 /2 1 /5 5 1 3 1 /3 1 /6 6 1 / 2 1 由步骤( 3) 计算出: B- = 0 -1. 609 4 -1. 386 3 0. 693 1 1. 098 6 1. 386 3 0 1. 098 6 1. 609 4 1. 791 8 1. 098 6 -1. 386 3 0 -1. 609 4 -1. 791 8 -1. 098 6 -1. 791 8 1. 386 3 0 0. 693 1 -1. 386 3 -1. 945 9 1. 609 4 -1. 098 6 0 B+ = 0 -1. 386 3 -1. 098 6 1. 098 6 1. 386 3 1. 609 4 0 1. 386 3 1. 791 8 1. 945 9 1. 386 3 -1. 098 6 0 -1. 386 3 -1. 609 4 -0. 693 1 -1. 609 4 1. 609 4 0 1. 098 6 -1. 098 6 -1. 791 8 1. 791 8 -0. 693 1 0 由步骤( 4) 计算出: C- = 0 -1. 418 0 0. 497 0 -0. 078 6 0. 323 5 1. 418 0 0 1. 915 0 1. 339 4 1. 741 5 -0. 497 0 -1. 915 0 0 -0. 575 6 -0. 173 5 0. 078 6 -1. 339 4 0. 575 6 0 0. 402 1 -0. 323 5 -1. 741 5 0. 173 5 -0. 402 1 0 C+ = 0 -1. 346 7 -0. 541 6 -0. 081 1 0. 358 3 1. 346 7 0 0. 805 1 1. 265 6 1. 705 0 0. 541 6 -0. 805 1 0 0. 460 5 0. 899 9 0. 081 1 -1. 265 6 -0. 460 5 0 0. 439 4 -0. 358 3 -1. 705 0 -0. 899 9 -0. 439 4 0 由步骤( 5) 计算出: ( A* ) - = 1 0. 242 2 1. 643 8 0. 924 4 1. 382 0 4. 128 9 1 6. 786 9 3. 816 8 5. 705 9 0. 608 4 0. 147 3 1 0. 562 4 0. 840 7 1. 081 8 0. 262 0 1. 778 2 1 1. 495 0 0. 723 6 0. 175 3 1. 189 5 0. 668 9 1 ( A* ) + = 1 0. 260 1 0. 581 8 0. 922 1 1. 430 9 3. 844 7 1 2. 236 9 3. 545 3 5. 501 4 1. 718 8 0. 447 0 1 1. 584 9 2. 459 4 1. 084 5 0. 282 1 0. 631 0 1 1. 551 8 0. 698 9 0. 181 8 0. 406 6 0. 644 4 1 由步骤( 6) 计算出: w- = ( 0. 132 6 0. 547 4 0. 080 7 0. 143 4 0. 095 9) w+ = ( 0. 123 3 0. 474 2 0. 212 0 0. 133 7 0. 056 8) 从而得二级指标的权重 w= ( 0. 128 0 0. 510 8 0. 146 3 0. 138 5 0. 076 4) .同样，可以获得各三级指标的权重，如 表 2 所示。
2. 2 基于白化权函数的大学生数学自学能力评价
本文以 10 分制为标准，综合相关专家和数学任课老师的意见，将大学生数学自学能力分为差、中、良、优 4 个评价灰类，这 4 个评价灰类的评价区间分别为[2，4]、[4，7. 2]、[7. 2，8. 6]、[8. 6，10]。 ( 1) 根据上述评价区间分别得到差、中、良、优的白化权函数如下: f1( x) = 0 x[1，5. 6] 1 x∈[1，3] 5. 6-x 2. 6 x∈[3，5. 6 ] f2( x) = 0 x[3，7. 9] x-3 2. 6 x∈[3，5. 6] 7. 9-x 2. 3 x∈[5. 6，7. 9 ] f3( x) = 0 x[5. 6，9. 3] x-5. 6 2. 3 x∈[5. 6，7. 9] 9. 3-x 1. 4 x∈[7. 9，9. 3 ] f4( x) = 0 x[7. 9，11] x-7. 9 1. 4 x∈[7. 9，9. 3] 1 x∈[9. 3，11 ] ( 2) 求出灰色评价权矩阵。表 3 是 5 位专家对随机抽取的某位大学生的评分，评分范围为 1 ～ 10， 1 代表最差，10 代表最好。
把表 3 中的数据分别代入差、中、良、优的白化权函数得到每种灰类的评价系数与总灰度评价系数，如表 4 所示。由表 4 易得三级指标 C 的灰色评价权重矩阵，如表 5 所示。
从而可得二级指标 B1，B2，B3，B4，B5 的灰色权评价向量 δ1，δ2，δ3，δ4，δ5 如下: δ1 =( 0. 179 9 0. 787 4 0. 034 7) × 0. 000 0 0. 243 5 0. 570 8 0. 185 7 0. 046 2 0. 397 3 0. 527 9 0. 028 6 0. 369 2 0. 474 3 0. 156 5 0. 000 0 = ( 0. 049 0 0. 373 0 0. 523 0 0. 055 0) δ2 =( 0. 164 3 0. 770 0 0. 065 7) × 0. 000 0 0. 078 3 0. 721 7 0. 200 0 0. 000 0 0. 156 5 0. 657 8 0. 185 7 0. 000 0 0. 321 8 0. 506 8 0. 171 4 = ( 0. 000 0 0. 154 5 0. 658 4 0. 187 1) δ3 =( 0. 100 8 0. 351 2 0. 548 0) × 0. 046 2 0. 397 3 0. 385 1 0. 171 4 0. 123 1 0. 398 6 0. 464 0 0. 014 3 0. 046 2 0. 475 5 0. 464 0 0. 014 3 = ( 0. 073 2 0. 440 0 0. 456 7 0. 030 1) δ4 =( 0. 359 5 0. 270 0 0. 370 5) × 0. 169 2 0. 552 5 0. 278 3 0. 000 0 0. 246 2 0. 562 5 0. 191 3 0. 000 0 0. 492 3 0. 472 9 0. 034 8 0. 000 0 = ( 0. 309 7 0. 525 7 0. 164 6 0. 000 0) δ5 =( 0. 817 3 0. 182 7) × 0. 046 2 0. 475 5 0. 464 0 0. 014 3 ( ) 0. 338 4 0. 626 8 0. 034 8 0. 000 0 = ( 0. 099 6 0. 503 1 0. 385 6 0. 011 7) 所以，二级指标 B 的灰色评价权矩阵为 δ = δ1 δ2 δ3 δ4 δ 5 = 0. 049 0 0. 373 0 0. 523 0 0. 055 0 0. 000 0 0. 154 5 0. 658 4 0. 187 1 0. 073 2 0. 440 0 0. 456 7 0. 030 1 0. 309 7 0. 525 7 0. 164 6 0. 000 0 0. 099 6 0. 503 1 0. 385 6 0. 011 7 ( 3) 对大学生数学自学能力进行综合评价。目标层 A 的灰色系数通过二级指标的权重和灰色评价权重矩阵得到: ξ=( 0. 128 0 0. 510 8 0. 146 3 0. 138 5 0. 076 4) × 0. 049 0 0. 373 0 0. 523 0 0. 055 0 0. 000 0 0. 154 5 0. 658 4 0. 187 1 0. 073 2 0. 440 0 0. 456 7 0. 030 1 0. 309 7 0. 525 7 0. 164 6 0. 000 0 0. 099 6 0. 503 1 0. 385 6 0. 011 7 = ( 0. 067 5 0. 302 3 0. 522 3 0. 107 9) 由 ξ = ( 0. 067 5 0. 302 3 0. 522 3 0. 107 9) 可知，该学生的数学能力关于差、中、良、优的比例分别为 6. 75% 、30. 23% 、52. 23% 、10. 79% ，由最大隶属度原则，该生的数学自学能力评价结果为良好。
3 结束语
文章从自主阅读数学材料的能力、自主学习动机、自主学习计划、自主练习运用能力和自主评价能力 5 个方面构建了大学生数学自主学习能力指标体系，能够较科学地、全面地反映影响大学生数学自学能力的各项因素。文章运用了改进的层次分析法和白化权函数对大学生数学自学能力进行定量评价，由最大隶属度原则给出了比较客观的评价结果，减少了评价者主观因素的影响。本文的结果能够帮助大学生找出影响自学能力的主要原因，从根本上提高自学能力。同时本文给出的评价方法较为客观全面，可以广泛用于多因素的能力评定。
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