在信用风险定价模型中引入了强度的概念,假设一定时间内违约是随机发生的,而违约的概率是时间的函数,违约时间τ是由违约强度λ确定的Poisson过程。在时间间隔s内,事件发生的次数服从Poisson分布。
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在短时间Δt内,商业银行发生违约的概率exp(-λΔt)≈λΔt,伟业强度λ是市场信用风险的瞬时灵敏调整度。但是不同商业银行的违约率不同,因此对于强度λ的假设与事实不符。因此,对该模型的重要变量,如违约强度λ等进行拓展就形成了强度模型的不同分支。
一、基于违约的强度模型及其发展
在这类模型中,在时间T到期的违约信用风险t时的价格B(t,T),在假设违约率和清偿率的条件下,与无违约风险P(t,T)信用风险有关,能够简单的用下式表示:
其中,q(t,T)是在时间T到期的违约信用风险t时的违约概率。违约过程能够通过扩散过程的平方根或者跳扩散过程描述,跳强度是持续的或者是随时间变化的,这主要依赖于宏观的变量如经济状况或者商业银行参数。挽回率是商业银行信用风险面值或者无违约风险信用风险到期时的市场价值的分数。这一类模型的代表文章包括Lando(1998),Das and TufanoLando(1998)发展了违约强度的概念,将强度看作随机变量,违约过程可用Cox过程描述。违约时间为带有连续时间随机强度λ(t)的Cox过程发生第一次跳跃的时间,记为:τ=inft: λ(μ)dμ?叟E。其中,E为独立于强度的单位随机变量,λ(t)称为违约时间τ的随机强度过程。
假设信用风险无违约时,在到期日T支付固定的X。在风险中性的条件下,ht为t时刻违约的危险率,该危险率是由违约过程决定的外生变量,Lt为t时刻违约时市场价值违约预期损失的部分。假设在t时刻之前的市场信息都是可得的。风险信用风险短期利率过程r用加上违约调整的短期利率过程R=r+hL来代替,即在各种技术条件下违约信用风险的X的初始市场价值为V =E Xe ,其中X为信用风险的面值,为了简化,通常假设X=1。Rt≈rt+htLrE 为0时刻的风险中性条件期望,该方法既考虑了违约概率和违约时间,又考虑了违约损失。
Cossin and Pirotte(2001)给出了该利率调整过程满足下列等式:
当Δt趋向于0时,R≈r+hL。Duffie and Singleton在上述等式中考虑了流动性的影响,用违约和流动性调整的短期利率过程来替代,即R≈r+hL+t。
二、基于信用评级方法的强度模型及其发展
这种方法由Jarrow等人提出,可以看作是基于违约模型的一种拓展,这种模型主要强调了如下问题:(1)即使没有违约发生,信用价差也会变化。(2)特定信用衍生品的回报率是基于信用评级或者其他信用事件的发生。如下式所示,该模型将基于违约的模型中的单一水平的违约替换成倍数评级类(用下标i表示):
该模型将违约视为有限状态空间的马尔科夫过程,通过对信用评级矩阵的风险溢价因素进行调整,使模型价格和观察到的价格更加一致。在这方面的文章主要包括Lando(1998),Das and Tufano(1996),Jarrow,Lando and Turnbull(1997),Kijima and Komoribayas(1998)。
JIT模型用马尔可夫链来描述信用风险信用等级的变化过程。假设违约时间的分布是有限状态空间S={1,2,...K}中的时间齐次马尔可夫链,空间状态S代表可能的信用等级,状态1代表最高的信用等级,状态K-1代表最低的信用等级,最后的状态K代表违约。有限状态空间中的时间齐次马儿可夫链可以表示为K×K阶的转移概率矩阵。
其中对所有的i,j,i≠j,qij?叟0且对所有的 ,第i,j个向量qij表示从状态i到状态j的实际转移概率。为简单起见,假设违约为吸收点,所以对i=1,2,3…,k-1有qki=0和qkk=1。在已有的完备市场和无套利的假设前提下,等价秧概率下的从时间t到时间t+1的转移矩阵为:
假设风险溢价调整使得πi(t)使得秧概率下的信用等级风险变动过程对所有的i,j,i≠j满足 这里πi(t)是时间的确定性方程,这样就把实际概率转换为了估价中用到的风险中性概率。商业银行在t时刻状态为i,ηt=i定义并且限定τ*=inf{s?叟t:ησ=K}为第一次违约的时间,则T时刻以后发生违约的概率为:
该模型的缺点在于将清偿率假设为常数,并假设同一信用等级的信用风险都具有相同的违约过程,这与现实是不相符的。
