摘 要 加法结构是以加法和减法概念为核心的概念体系，是儿童在数学领域建构的第一个整体性的结构。使用内容分析法，以变化题、合并题和比较题为分类标准，研究了加减法实际问题在小学数学教材中的整体分布以及年级分布，据此提出了两点教学建议：引导学生经历数学抽象，促进加法图式的建构;采取多样化的题型，理解关系运算的算法算理。
关键词 加减法实际问题 加法结构 变化 合并 比较
1 加减法实际问题的分类
维格诺德[1] 对加减法实际问题进行过分析研究，他以实量、变换次数和数量间的关系是静态关系或动态关系为标准，将加减法实际问题分为六种基本类型;卡朋特和莫瑟[2] 划分了应用题的一般框架，被许多研究者认为能有效区分儿童解决不同问题时表现出来的重要差异，这个框架主要包括“变化、合并、比较、相等”四大类加减法题;孙昌识[3]在研究儿童认知结构的发展与教育时，划分了三种类型的加减法应用题——变化题、合并题、比较题，用于区分语义特征明显不同而词汇和句法特征基本相同的问题。根据国内外学者的相关研究，我们发现对于加法结构的问题分类基本一致，只是在细致程度上有一些差异。概括而言，我们将小学阶段一步计算的加、减法实际问题分为三类：变化题、合并题和比较题，分别对应了维格诺德和卡朋特所划分的前三种，而卡朋特提出的相等问题我们将之归类于比较题。
2 不同类型加减法实际问题
在教材中的分布以变化题、合并题和比较题三种问题类型为分类标准，本文梳理了苏教版小学数学教材中出现的所有一步计算的加、减法问题，对加、减法实际问题在教材中的分布做了统计和分析。
2.1 加减法实际问题在教材中的整体分布根据图 1 可以看出，在一步计算的加法实际问题中，合并题就有 134 题，占了总数的 71%。在自然数、分数、小数加法的起始课中，也都是使用合并的语境意义让学生形成加法问题的表征。说明在教学中，教材和教师都是将“合并”作为“加法”的基本概念，进行加法意义的建构。
2.2 加减法实际问题在教材中的年级分布加减法实际问题不仅在教材中的整体分布比例不同，在各个年级的分布更是差异很大。有些年级学习的加、减法题很多，类型也比较全面，而有些年级基本不涉及加减法的学习。从图 2 中可以看出，教材主要将加法内容安排在低年级。学前儿童已经能够借助实物操作或数手指等计数策略解决简单的加法问题，只是还没有学会抽象化的数字运算，因此刚入学教材提供大量与实际生活相关联的数学情境(以合并题为主)使学生对加法原始自发的认知逐步转化为对问题情境的有意义理解。一年级下学期，儿童继续学习类型更加丰富的加法实际问题(包括变化题和合并题)，从而对加法的认知更加完整与规范，初步形成了加法认知结构，能进行简单的关系运算。
2.3 三种问题情境在教材中的年级分布从图 3 可以得知，在一二年级儿童构建加法认知结构的关键时期，教材是按照“合并题——变化题——比较题”的先后顺序编排实际问题，使学生从浅入深掌握加减法概念的。根据孙昌识的研究结果[3]，儿童的变化图式、合并图式形成较早，此时加减法概念出现但加法相对占优势(一年级上学期);随后变化图式和合并图式整合为总体关系推理图式，加法与减法在具体水平上整合(一年级下学期);而比较图式建构较晚，至此以加减法概念为核心的加法结构才在概念水平上达到整合(二年级)，即是说教材的三种类型实际问题的设置是符合儿童思维特点和认知过程的。
3 促进学生构建加法结构的教学建议
儿童的加法认知水平是从直观感知到逻辑抽象逐渐过渡的过程，通过研究加减法实际问题在教材中的分布特点，结合加法结构形成、发展、变化的客观规律，发现教材的问题编排有符合儿童认知的部分，也有不利于儿童加法结构发展、整合的地方。这也启发我们教学时应尊重教材、理解教材，也要在把握教材的基础上设计更加合理的教学活动，帮助学生掌握加减法的概念，发展加法认知结构。
3.1 引导学生经历数学抽象，促进加法结构的建构
儿童在入学以前已经对加减法有了简单的感知，能尝试解决一些简单的实际问题。因此入学以后，我们应基于学生已有的认知基础，逐步进行加减法基本概念教学，引导其抽象出数学概念，促进数学认知水平的发展。教学时教师应创设贴近儿童生活的现实情境，借助生活经验以及实物操作，帮助学生从具体形象思维向抽象逻辑思维发展;应抓住学生思维发展的关键期，结合简单的概念教学，使学生理解加减法概念的意义和算理，解决实际问题;应结合加法结构发展的客观规律，把握学生的认知特点，循序渐进地组织教学[4]，从而促进儿童认知结构的整合与发展。
3.2 采取多样化的题型，理解关系运算的算法算理合并的语境意义更容易和加法产生联结，变化和比较的语境意义更容易和减法产生联结，因此教材主要通过合并题促使学生形成加法概念，通过变化题和比较题促使学生形成减法概念。然而这些单一的问题练习过多会使儿童形成片面的认知——合并即为“加”，去掉即为“减”。从而解题时受到问题呈现方式的支配，看到“一共”“比”等就直接进行加减法数值运算，而不去理解题目中的数量关系。因此教学时应适当补充不同类型的加减法实际问题，如给出三个数量，教师可以设置成合并题的情境，也可以设置成变化题、比较题的情境;如根据数量关系，教师任意改变未知量，让学生根据其他已知量求出结果。通过多样化的题型和变式，使得学生真正掌握加减法的含义，理解关系运算的算法算理，从而构建完整的加法图式。
参考文献
[1] Vergnaud·G. L'enfant,la mathematique et la realite [J].Educational Studies in Mathematics,1982 (8): 347-348.
[2] (美)理查德·莱什,玛莎·兰多.数学概念和程序的获得[M].孙昌识,苗丹民,等,译.济南:山东教育出版社,1991.
《小学数学教材加减法实际问题类型分布的分析》来源：《科教文汇》，作者：朱 蕾， 顾继玲。
