基于 法假设的基桩挠曲线微分方程

　　摘要：从基桩任意微段的平衡微分方程出发，应用级数推导基桩的挠曲线方程，将基桩所承受的复杂荷载作为边界条件考虑，进而在法对桩侧阻假设的基础上推导出倾斜载荷作用下的基桩在饱和粘性土中的挠曲线方程。算例表明，结果与实际比较接近。
　　关键词挠曲线、平衡微分方程、级数、倾斜荷载、法
　　
　　引言
　　实际工程中，基桩往往同时承受倾斜荷载的作用。桩侧土体的弹性抗力分布非常复杂，因此倾斜荷载下基桩的受力性状比单一的竖向或水平荷载作用情况要复杂得多。由于这一问题的复杂性，目前各规范在工程中往往采用简化的计算方法，即将桩顶竖向力和水平力分开计算，再根据小变形叠加原理，计算桩身的内力和位移。
　　本文从基桩任意微段的平衡微分方程出发，应用级数推导基桩的挠曲线方程。
　　1.基桩挠曲微分方程的建立
　　基桩在竖向及水平荷载共同作用下，取土体中
　　基桩任一微段如图1所示[1]，微段两端横截面作用有弯矩、剪力和轴力，桩侧受有土的抗力。此外，沿桩轴向尚受有桩侧土的摩阻力及桩自重作用，其影响均可归于之中。因此对图中微段下端中点取矩可得:
　　
　　图1基桩受力分析
　　（1）
　　略去二阶微分微量，则:
　　（2）
　　由力的平衡以及材料力学整理得
　　（3）
　　若设桩的截面保持不变，即EI为常数，则上式可变为:
　　（4）
　　式（4）为基桩在轴向和横向荷载同时作用下的挠曲微分方程式。根据的假设不同，其解答亦不同。
　　2.挠曲微分方程的解答
　　要求解式（4），必须首先确定轴力和桩侧土抗力。
　　2.1轴力的确定
　　图2为竖直基桩在桩顶轴力的作用下，作用
　　图2基桩轴力分析
　　深度处、周长为，厚度为的微小桩段的受力图，由力的平衡条件：
　　（5）
　　可得桩侧摩阻力与桩身轴力的关系：
　　（6）
　　从而推出轴力
　　（7）
　　对于均匀土层，轴力可表示为
　　（8）
　　式中——深度z处横截面轴力；
　　——为桩顶处轴力；
　　——桩侧摩阻力；
　　——桩横截面周长。
　　桩侧摩阻力的计算分总应力法和有效应力法两大类，包括法、法、法、Flaate法、临界状态法等。
　　对正常固结粘性土和砂土采用法（属有效应力法）计算，，采用有效应力法正常固结粘性土，砂土，则桩侧阻可以表示为
　　
　　其中，为粘着系数，与土类、桩的类型、桩的设置方法以及时间效应有关。
　　则轴力
　　（9）
　　2.2桩侧压力的确定
　　桩侧土压力按位移方向可分为：静止土压力、主动土压力和被动土压力。
　　
　　图3基桩侧压力分析
　　实际受力的基桩可认为为主动土压力，为被动土压力（如图3所示），并且符合库伦土压力条件，则
　　（10）
　　式中，，为主动土压力系数，为被动土压力系数，则
　　（11）
　　将式（9）及式（11）代入式（4）得到基桩在饱和粘性土中倾斜载荷作用下的挠曲线微分方程
　　（12）
　　整理得
　　（13）
　　2.3微分方程的求解
　　式（13）为四阶线性非齐次方程，其解由特解和通解组成。
　　对应齐次方程
　　（14）
　　的通解的形式为
　　（15）
　　将其代入式（14）由对应系数相等得到
　　则齐次方程式（14）的解为
　　（16）
　　表示为
　　（17）
　　其中、，该幂级数收敛半径为无限大。
　　对应非齐次方程式（13）的一个特解为：
　　（18）
　　至此基桩在正常固结粘性土和砂土中倾斜载荷作用下的挠曲线微分方程式（13）的解为：
　　；
　　已知边界条件①为
　　
　　边界条件②为
　　
　　
　　将边界条件代入微分方程解中可以得出常数，，，。
　　3.结论
　　1.根据静力平衡状态下基桩的实际受力情况，推导出基桩在正常固结粘性土和砂土中的挠曲线微分方程式（6）。
　　2.对于基桩挠曲线的四阶线性非齐次方程的解，形式上由其次方程的通解和非齐次特解构成，本文采用级数法对高阶微分方程进行了求解，其解可以表示成，其中为其次方程的通解式（16）或式（17），为非齐次方程的特解式（18）。
　　参考文献：
　　[1]赵明华.倾斜荷载下基桩的受力研究.博士学位论文，湖南大学：2001
　　[2]史佩栋.实用桩基工程手册.中国建筑工业.2003.
　　[3]李广信.高等土力学.清华大学.2004.
　　[4]董建国，沈锡英，钟才根.土力学与地基基础.同济大学.2005.