摘 要: 在大数据的时代背景下，电子商务获得了蓬勃的发展，竞争的激烈程度也愈演愈烈，导致电子商务在竞争资源的同时，也不断呈现出合作的态势。构建了电子商务网站协作竞争模型，对模型进行平衡点分析，并通过matlab进行数值模拟。
关键词: 电子商务;协作竞争;常微分方程;数值模拟
随着大数据时代的到来，电子商务获得了蓬勃的发展，同传统商务相比，电子商务具有低成本，信息化效率高等优势。因此，为争夺电子商务市场潜在的巨额利润，阿里巴巴，京东商城等各电子商务网站相继成立。但是从电子商务的发展来看，市场上极少数的电子商务网站占据着绝大多数的用户，即电子商务网站市场存在霸主现象。由于用户数与网站的生存密切相关，因此，对大多数网站而言，重要的是如何能在激烈市场上吸引更多的用户数。文献[1]用 Lotka-Volterra 模型描述互联网的竞争模型，建立了如下网站竞争模型： dxi dt = αixi (βi - xi )-∑ j ≠ i γij xixj ，i = 1,2,…,n (1)其中 αi > 0 ，0 < βi < 1 ，γij > 0 。这里的 xi 是网站 i 的用户比率，表示 i 网站的用户量在同类用户群中所占比率。影响 xi 的因素主要有2个部分：当无其它网站竞争时，xi 以增长系数 αi 增长，最终达到其最大容量 βi ;当有其它网站竞争时，xixj 表示同时使用网站 i 和 j 的用户比率。 γij xixj 表示由于网站 j 的影响，放弃网站 i 的用户比率。
文献[2-3]根据电子商务经济“强者愈强”的马太效应，对文献[1]模型进行了修改，并分析了两个相同网站的竞争情况，此时 α = αi ，β = βi ，γ = γij ， ω = ωij(i,j = 1,2) 。其模型为： ì í î ïï ïï dx1 dt = αx1(β - x1)- γ(1 + ω(x2 - x1))x1 x2 dx2 dt = αx2(β - x2)- γ(1 + ω(x1 - x2))x1 x2 (2)其中 α > 0，0 < β < 1，0 < ω < γ ，xi ≥ 0 。模型(2)同模型(1)相比，增加了 ω (xj - xi ) 项，其作用是体现电子商务网站的“强者更强”的特性。另一方面，文献[4]基于一系列实际观测到的生态现象，提出了一类两种群协作竞争模型。考虑网站之间也会存在一定的协作关系，用 γxixj 表示由于网站 j 的影响，选择网站 i 的用户比率。因此，建立如下的电子商务网站协作竞争模型： ì í î ïï ïï dx1 dt = αx1(β - x1)+ γx1 x2 - γω(x2 - x1)x1 x2 ≡ P(x1,x2) dx2 dt = αx2(β - x2)+ γx2 x1 - γω(x1 - x2)x1 x2 ≡ Q(x1,x2) (3)其中 α >0，0 < ω < γ ，0 < β < 1，x1 ≥ 0 ，x2 ≥ 0 。通过对模型(3)平衡点的分析以及相应的数值模拟验证，说明该电子商务网站协作竞争模型的可行性。
1 平衡点的分析
基于系统的现实意义，只需在区域 Gˉ={(x1, x2)|0 ≤ x1 ≤ 1,0 ≤ x2 ≤ 1} 上讨论。由{αx1(β - x1)+ γx1 x2 - γω(x2 - x1)x1 x2 = 0 αx2(β - x2)+ γx2 x1 - γω(x1 - x2)x1 x2 = 0 可得：当 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 时，方程的有 6 个奇点 ： A(0,0)，B(β,0)，C(0,β)，D( αβ α - γ, αβ α - γ)，E(u,v)，F(v,u) ;当 α γ > βω + β2 ω2 + 1 时，这时 E, F 不存在, 方程 有 4 个 奇 点 ：A(0,0)，B(β,0)，C(0,β)，D( αβ α - γ, αβ α - γ) ;当 α γ = βω + β2 ω2 + 1 时，D,E,F 共点。其中 u = α + γ + γ2 - α2 + 2αβγω 2γω ， v = α + γ - γ2 - α2 + 2αβγω 2γω 。分析各奇点的稳定性。奇点的稳定性可通过下面的行列式对应的特征值进行分析。记J(x,y)= é ë ê ù û ú αβ - 2αx1 + γx2 + 2γωx1 x2 - γωx2 2 γx1 + γωx1 2 - 2γωx1 x2 γx2 + γωx2 2 - 2γωx1 x2 αβ - 2αx2 + γx1 + 2γωx1 x2 - γωx1 2 则： det J(0,0)= α2 β2 , tr J(0,0)= 2αβ ， det J(β,0)= -αβ2 (α + γ(1 - βω)), tr J(β,0)= γβ(1 - ωβ)， det J(0,β)= -αβ2 (α + γ(1 - βω)), tr J(0,β)= γβ(1 - ωβ)， det J( αβ α - γ, αβ α - γ)= x2 1 (α2 - γ2 - 2αβγω), tr J( αβ α - γ, αβ α - γ)= 2αx1 βγω -(α - γ) α - γ ， det J(u,v)= x1 x2 3(γ2 - α2 + 2αβγω) 4 , tr J(u,v)= -αβ， det J(v,u)= x1 x2 3(γ2 - α2 + 2αβγω) 4 , tr J(v,u)= -αβ，
(1)因为 det J(0,0)> 0, tr J(0,0)> 0 ，所以 A(0,0) 为不稳定结点。
(2)因 为 0 < β < 1 ，0 < ω < 1 ，得 出 -αβ2 (α + γ (1 - βω))< 0 ，这时 det J(β,0)< 0 ，det J(0,β)< 0 ，所以 B(β,0) 与 C(0,β) 都是鞍点。
(3)当 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1时，α2 - γ2 - 2αβγω < 0 ，这 时 det J( αβ α - γ, αβ α - γ)< 0 ，所 以 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 为鞍点。当 α γ > βω + β2 ω2 + 1 时，α2 - γ2 - 2αβγω > 0 ， βγω -(α - γ)< 0，这 时 ，det J( αβ α - γ, αβ α - γ)> 0, tr J ( αβ α - γ, αβ α - γ)< 0，所以 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 为稳定结点。
(4)当 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 时，E, F 存在。此时 γ2 - α2 + 2αβγω > 0 ，可得：det J(u, v)> 0, tr J(v, u) < 0, det J(v,u)> 0, tr J(v,u)< 0 ，所以 E(u,v) 和 F(v,u) 稳定结点。
(5)当 α γ = βω + β2 ω2 + 1 时，因为 det J( αβ α - γ, αβ α - γ)= 0，所以 E, F 与 D 重合为高次奇点 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。讨论高次奇点 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。作变换 xˉ1 = x1 - αβ α - γ ，xˉ2 = x2 - αβ α - γ ，仍以 x1 , ì í î ï ï ï ï dx1 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(x1 - x2)- αx1 2 + γxx2 - x1 2 x2 - x1 x2 2 - αβ α - γ x1 2 - αβ α - γ x2 2 - 2αβ α - γ x1 x2 dx2 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(x2 - x1)- αx2 2 + γx1 x2 + x1 2 x2 + x1 x2 2 + αβ α - γ x1 2 + αβ α - γ x2 2 + 2αβ α - γ x1 x2 (4) ì í î ïï ïï dx1 dt = -α(x1 - x2) 3 - αx2 2 + 2γ(x1 - x2)x2 dx2 dt = αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω)(2x2 - x1)- αx2 2 + γ(x1 - x2)x2 +(x1 - x2) 2 x2 +(x1 - x2)x2 2 + αβ α - γ x 2 (5) ì í î ïï ïï dx1 dt = γ - α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) x1 2 - γ + α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) x2 2 dx2 dt = x2 + Q(x1,x2) (6)再做变换 ξ = x1 + x2 ，η = x2 仍以 x1 , x2 表示 ξ,η ，则系统(4)转化为: 再做变换 xˉ1 = x1 ，xˉ2 = 2x2 - x1 ，τ = 2αβ (α - γ) 2 (-γ2 + αγ + αβγω) ，仍以 x1 , x2 , t 表示 xˉ1 , xˉ2 , τ ，则系统(5)转化为：其中 Q(x,y) 为不低于二次的多项式。这时因为 -γ2 + αγ + αβγω = γ(α - γ)+ αβγω < 0 ， 所以 γ - α 2 (α - γ) 2 2αβ(-γ2 + αγ + αβγω) < 0 ，m = 2 为偶数。
x2 表示 xˉ1 , xˉ2 ，则系统(3)转化为：根据文献[5]可知，D( αβ α - γ, αβ α - γ) 为鞍结点，且包含正 x 轴。根据以上分析，可得：
(1)当 α γ > βω + β2 ω2 + 1 时，系统(3)有4个奇点：不稳定结点 A(0,0) ，鞍点 B(β,0) ，鞍点 C(0,β) ，稳定结点 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。
(2)当 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 时，系统(3)有6个奇点：不稳定结点 A(0,0) ，鞍点 B(β,0) ，鞍点 C(0,β) ，鞍点 D( αβ α - γ, αβ α - γ)，稳定结点 E(u,v)和F(v,u)。
(3)当 α γ = βω + β2 ω2 + 1 时，系统(3)有4个奇点：不稳定结点 A(0,0) ，鞍点 B(β,0) ，鞍点 C(0,β) ，鞍结点 D( αβ α - γ, αβ α - γ) 。
2 数值模拟
以下通过具体的模型来验证定理的可行性。例1 考虑如下系统: ì í î ïï ïï dx1 dt = x1(0.4 - x1)+ 0.5x1 x2 - 0.15(x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = x2(0.4 - x2)+ 0.5x2 x1 - 0.15(x1 - x2)x1 x2 (7)这里相对于系统(3)，α = 1 ，γ = 0.5 ，ω = 0.3 ， β = 0.4 ，这时 α γ = 2 ，βω + β2 ω2 + 1 = 1.1272 ，满足条件 α γ > βω + β2 ω2 + 1 。所以系统(7)存在稳定结点 D( αβ α - γ, αβ α - γ) = D(0.8,0.8) 。图 1 是系统(7)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的数值模拟图。
例2 考虑如下系统: ì í î ïï ïï dx1 dt = x1(0.5 - x1)+ 2x1 x2 - 3(x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = x2(0.5 - x2)+ 2x2 x1 - 3(x1 - x2)x1 x2 (8)这里相对于系统(3)，α = 1 ，γ = 2 ，ω = 1.5 ， β = 0.5 ，这时 α γ = 0.5 ，βω + β2 ω2 + 1 = 2 ，满足条件 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 。所以系统(8)存在稳定结点 E(u,v)=(0.9，0.09) 。图 2 是系统(8)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的数值模拟图。
例3 考虑如下系统: ì í î ïï ïï dx1 dt = 3x1( 1 4 - x1)+ 2x1 x2 - 10 3 (x2 - x1)x1 x2 dx2 dt = 3x2( 1 4 - x2)+ 2x2 x1 - 10 3 (x1 - x2)x1 x2 (9)这里相对于系统(3)，α = 3 ，γ = 2 ，ω = 5 3 ， β = 1 4 ，这时 α γ = 3 2 ，βω + β2 ω2 + 1 = 3 2 ，满足条件 α γ = βω + β2 ω2 + 1。所 以 系 统 (9) 存 在 鞍 结 点 D( αβ α - γ, αβ α - γ) = D(0.75,0.75) 。图 3 是系统(9)具有初值 (x1(0),x2(0))=(0.3,0.8) 解的数值模拟图。
3 总结
根据平衡点的分析，以及例题所示，当两个实力相同网站协作竞争时，其结果为：
(1)当 α γ ≥ βω + β2 ω2 + 1 时，网站协作竞争呈现为强协作弱竞争的关系，结果是两个网站最终的市场占有率相同。
(2)当 0 < α γ < βω + β2 ω2 + 1 时，网站协作竞争呈现为强竞争弱协作的关系，结果是开始时用户量大的网站占有了更多的用户量，并最终维持在较高占有率;开始时用户量少的网站失去了一定量的用户量，并最终维持在较低的占有率。
参考文献
[1]ADAMIC L A,HUBERMAN B A.Power-low distribution of the worldwide web [J]. Science, 2000, 287(8): 2115.
[2]李艳会，朱思铭. 一类电子商务网站竞争模型分析 [J]. 中山大学学报, 2003(9): 6 - 10.
[3]张正春, 赵建东. 电子商务网站竞争模型分析及其策略 [J]. 数学的实践与认识, 2010(17), 124 - 130.
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