摘 要:提出了几种组合粒下的粗糙集模型,并将其与单一粒下的粗糙集进行了对比,同时又与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行比对,创造性地得到了组合粒、单一粒以及粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系。结果表明,组合粒与粒逻辑运算构成了一个链结构,这为探讨基于信息粒的知识获取以及动态粒的推理奠定了基础。
关键词:组合粒,粒逻辑运算,单一粒,粗糙集,近似
0 引言
粒度计算是由Zadeh[1]于1996年提出,他认为,人类认识主要基于三个主要概念,即粒度、组织和因果。其中粒度计算是一把伞,涵盖了有关粒度计算的理论、方法论、技术和工具的研究,在粗糙集理论、概念格、知识工程、数据挖掘、人工智能、机器学习等领域有潜在的应用,已成为信息科学的研究热点之一[2]职称论文。
粗糙集[3]定义为给定关系上集合的上近似与下近似构成的有序对,已被成功地应用于机器学习、决策分析、过程控制、模式识别和数据挖掘等领域[4]。传统的粗糙集理论是基于单一粒定义的,即静态粒。文献[5~7]提出了多粒运算下的粗糙集理论模型,即MGRS(multi-granulations rough set,MGRS),并讨论了相关的数学性质。考虑到文献[5~7]中主要讨论了集合在粒度P和Q的P+Q、P∩Q运算下的上下近似集合,本文对多粒运算下的粗糙集模型进行了进一步的讨论,并将其与单一粒度下的粗糙集模型进行了比较;同时,将多粒运算下的粗糙集模型与组合粒度下的粗糙集模型进行了?比较。
1 相关概念
本章给出的相关概念对于后续部分给出的讨论是必要的。
定义1 命题逻辑中,命题P和Q的合取记为P∧Q。P∧Q为真当且仅当P和Q同时为真;命题P和Q的析取记为P∨Q,P∨Q为假当且仅当P和Q同时为假。
定义2 信息系统是一个四元组(U,A,V,f)。其中,U是对象的集合,称为域(universe);A是用来描述对象的属性的集合;V是属性集A的值域; f:U×A→V反映的是某个对象在某个属性上的取值,信息系统通常略写为(U,A)。
定义3 给定一个非空的域U,U×U的子集EU×U表示域U上的一个关系。有序对(U,E)称为一个近似空间[8](approximation space)。
如果关系E满足自反性、对称性和传递性,则E称为一个等价关系[9]。等价关系E对域U可以形成一个划分,记为U/E。可以证明,等价关系和划分是等价的,即给定一个等价关系,可以构造域的划分;同样,给定域的一个划分,可以构造域上的一个等价关系。
信息系统(U,A)中,如果两个体x,y∈U在属性a∈A上取值相同,则称两者在属性a上是不可分辨的。如果x,y在集合BA中的每一个属性b∈B都是不可分辨的,则称两者在集合B上是不可分辨的。与x在集合B上不可分辨的所有个体的集合称为x在集合B上生成的等价类,记为[x]?B,它可以看成是由与x不可分辨的元素构成的信息粒[8](information granule)。
定理1 域U上所有元素在集合A上生成的等价类满足以下三个条件[9]:
a)?x∈U,有[x]?A≠?;
b)?x,y∈U,或者[x]?A=[y]?A成立,或者[x]?A∩[y]?A=?成立;
c)∪x∈U[x]?A=U。
该定理表明,在集合A上生成的所有等价类构成了域的一个划分,这些等价类称为基本等价类。
定义4 对域U的任一子集XU而言,如果它可以表示成某些等价类的并集,称x是精确的(或者称为可定义的),否则称为粗糙的。如果一个概念XU是粗糙的,则可以用两个精确定义的集合来近似,分别称为X的下近似或上近似,记为PX和X,定义如下:
PX=∪[x]?PX[x]?P
X=∪[x]?P∩X≠?[x]?P
其中:[x]?P={y|f(x,P)=f(x,P)}是由x在属性集P上生成的等价类。显然有下式成立:
PXXX
定义5 如果集合X是粗糙的,有序对〈PX,X〉称为它的粗糙集。该粗糙集的近似质量α?P(X)定义如下:
α?P(X)=|PX|/|X|
2 几种基于粒运算的粗糙集模型
定义6 给定信息系统(U,A),P,QA。假设由P,Q对域可以构造相应的划分为
U/IND(P)={[x?1]?P,[x?2]?P,…,[x|U|]?P}
U/IND(Q)={[x?1]?Q,[x?2]?Q,…,[x|U|]?Q}
则由P和Q构成的两个组合粒定义为
U/IND(P∩Q)={[x?1]?P∩[x?1]?Q,…,[x|U|]?P∩
[x|U|]?Q}(1)
U/IND(P∪Q)={[x?1]?P∪[x?1]?Q,…,[x|U|]?P∪
[x|U|]?Q}(2)
例如信息系统(U,A)中,XU且P,QA。其中U={e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8},X={e?1,e?2,e?5,e?7,e?8}。由P,Q对域形成的划分分别为
U/IND(P)={{e?1,e?7},{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},{e?8}}
U/IND(Q)={{e?1,e?2},{e?3,e?4,e?5},{e?6,e?7,e?8}}
因此有
U/IND(P∩Q)={{e?1},{e?2},{e?3,e?4,e?5},{e?6},{e?7},{e?8}}
U/IND(P∪Q)={e?1,e?2,e?7},{e?1,e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6},?{e?2,e?3,e?4,e?5,e?6,e?7,e?8},{e?1,e?6,e?7,e?8},{e?8}
定理2 U/IND(P∩Q)形成域的划分,而U/IND(P∪Q)形成域的覆盖。
证明 由于等价关系满足自反性,对由P,Q构造的等价类[x?i]?P和[x?i]?Q,有x?i∈[x?i]?P且x?i∈[x?i]?Q。因此有?∪x?i([x?i]?P∩[x?i]?Q)=∪x?i[x?i]?P∪[x?i]?Q)=U成立,同时有?[x?i]?P∩[x?i]?Q≠?,[x?i]?P∪[x?i]?Q≠?,即U/IND(P∩Q)和U/IND(P∪Q)形成了域的覆盖。
进一步考虑,如果x?j∈[x?i]?P∩[x?i]?Q,如果x?j≠x?i,则有x?j∈[x?i]?P,x?j∈[x?i]?Q。由于[x?i]?P和[x?i]?Q均是等价类,根据定理1可得x?i∈[x?j]?P,x?i∈[x?j]?Q成立,即x?i∈[x?i]?P∩[x?i]?Q成立。
如果x?j?[x?i]?P∩[x?i]?Q,则可能有以下三种情况:a)x?j?[x?i]?P,x?j?[x?i]?Q;b)x?j?[x?i]?P,x?j∈[x?i]?Q;c)x?j∈[x?i]?P,x?j?[x?i]?Q。相应地,根据等价类的性质可得:a)x?i?[x?j]?P,x?i?[x?j]?Q;b)x?i?[x?j]?P,x?i∈[x?j]?Q;c)x?i∈[x?j]?P,x?j?[x?i]?Q,因此有x?i?[x?j]?P∩[x?j]?Q。
通过上述两种情况可得,或者[x?i]?P∩[x?i]?Q=[x?j]?P∩[x?j]?Q成立,或者([x?i]?P∩[x?i]?Q)∩([x?j]?P∩[x?j]?Q)=?成立,因此U/IND(P∩Q)构成了域的一个划分。
证毕。
定义7 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,定义组合粒下的粗糙集如下:
P∩QX=∪([x]??P∩[x]??Q)X
([x]?P∩[x]?Q)
P∩QX=∪([x]??P∩[x]??Q)∩X≠?
([x]?P∩[x]?Q)
P∪QX=∪([x]??P∩[x]??Q)X
([x]?P∪[x]?Q)
P∪QX=∪([x]??P∩[x]??Q)∩X≠?
([x]?P∪[x]?Q)
文献[10]中曾经定义了粒逻辑运算下的粗糙集模型,如定义8。
定义8 给定信息系统(U,A),P和Q是信息系统的两个信息粒,则粒逻辑运算下的粗糙集模型定义为
P∧QX=∪{x|([x]?PX)∧([x]?QX)}
P∧QX=∪{x|([x]?P∩X≠?)∧([x]?Q∩X≠?)}
P∨QX=∪{x|([x]?PX)∨([x]?QX)}
P∨QX=∪{x|([x]?P∩X≠?)∨([x]?Q∩X≠?)}
下面将讨论组合粒下的粗糙集与单粒下的粗糙集模型之间的关系以及组合粒下的粗糙集与粒逻辑运算下的粗糙集之间的关系。
3 单一粒与多粒运算下粗糙集的关系
笔者已经证明了下面的定理。
定理3 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∧QX=PX∩QX
P∧QX=X∩X
P∨QX=PX∪QX
P∨QX=X∪X
运用本文提出的组合粒,并将其与粒逻辑运算下的粗糙集模型进行进一步比对,可以得到下面的定理。
定理4 给定信息系统(U,A),P,QA,XU则有
PX∩QX?P∩QX
P∩QXX∩X
证明
a)?x∈PX∩QX,根据定义有[x]?PX且[x]?PX成立,因此有[x]?P∩[x]?QX,即x∈?P∩QX成立。因此有PX∩?QX?P∩QX。
b)?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P,[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,有[x]?P∩X≠?并且[x]?Q∩X≠?,因此有x∈X∩X,即P∩QXX∩X。
证毕。
该定理说明两个粒度P,Q组合产生的商空间U/IND(P∩Q)比组合粒度P∧Q构造的知识更细,因而对集合X的逼近更为准确。
定理5 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∪QX=PX∩QX
P∪QX=X∪X
证明
a)?x∈?P∪QX,有[x]?P∪[x]?QX成立。由于[x]?P[x]??P∪[x]?Q,[x?Q][x]?P∪[x]?Q,有[x]?PX和[x]?QX成立,即
x∈PX且x∈QX。因此有x∈PX∩QX,即
P∪QXPX∩QX成立。
?x∈PX∩QX,根据定义有x∈PX且x∈QX,因此有[x]?PX和[x]?QX成立。由于[x]?PX和[x]?QX成立,有[x]?P∪[x]?QX成立。因此有x∈?P∪QX,即PX∩QX?P∪QX。
综合上述两点可得 ?P∪QX=PX∩QX。
b)?x∈?P∪QX,有([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?,因此有[x]?P∩X≠?或
[x]?Q∩X≠?,即x∈X或x∈X
成立,x∈X∪X。因而可得?P∪QXX∪X成立。
?x∈X∪X,有x∈X或x∈X成立,即[x]?P∩X≠?或[x]?Q∩X≠?。由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,[x]?Q[x]?P∪[x]?Q,可得([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?成立。因此有x∈?P∪QX,即X∪X?P∪QX。
根据上述两点可得P∪QX=X∪X。
证毕。
该定理表明组合粒P∪Q下的粗糙集模型可以由单一粒下的粗糙集模型构造出。
4 不同粒运算下的粗糙集模型的关系
既然可以在组合粒、粒逻辑运算等不同的粒运算下都可形式化相应的粗糙集,那么产生一个问题:不同粒运算下的粗糙集之间有什么关系?
定理6 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∪QX?P∩QX
P∩QX?P∪QX
αP∪Q≤αP∩Q
证明
a)?x∈?P∪QX,有[x]?P∪[x]?QX,因此可得[x]?PX且[x]?QX。由此可以推断出[x]?P∩[x]?QX,即x∈?P∩QX。因此有P∪QX?P∩QX。
b)?x∈?P∩QX,根据定义有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?;又由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P∪[x]?Q,有([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?,可得?x∈?P∪QX,因此有?P∩QX?P∪QX。
c)由于
P∪QX?P∩QX,
有|?P∪QX|≤|?P∩QX|;由于
P∩QX?P∪QX,有|?P∩QX|≤|?P∪QX|。因此,?αP∪Q≤αP∩Q。
证毕。
定理7 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∧QX?P∩QX
P∩QX?P∧QX
αP∧Q≤αP∩Q
证明
a)?x∈?P∧QX,有[x]?PX且[x]?QX成立,因此可得([x]?P∩[x]?Q)X成立。因此有P∨QX?P∩QX。
b)P∩QX=∪{x|([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?},?P∧QX=?∪{x|([x]?P∩X≠?)∧([x]?Q∩X≠?)}。
?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P
且[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,可得[x]?P∩X≠?且?
[x]?Q∩X≠?,有x∈?P∧QX。因此有P∩QX?P∧QX。
c)由于P∨QX?P∩QX,有|?P∨QX|≤|?P∩QX|;同时,由于P∩QX?P∧QX,有
|?P∩QX|≤|?P∧QX|。因此αP∧Q≤αP∩Q成立。
证毕。
定理8 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∨QX?P∩QX
P∩QX?P∨QX
αP∨Q≤αP∩Q
证明
a)?x∈?P∨QX,有[x]?PX或[x]?QX成立。由于?[x]?P∩[x]?Q[x]?P且[x]?P∩[x]?Q[x]?Q,有[x]?P∩[x]?QX成立,则有x∈?P∩QX成立。因此有P∨QX?P∩QX。
b)?x∈?P∩QX,有([x]?P∩[x]?Q)∩X≠?。由于[x]?P∩[x]?Q[x]?P且[x]?P∩[x]?Q[x]?Q。有[x]?P∩X≠?和[x]?Q∩X≠?成立,则有x∈?P∨QX。因此有P∩QX?P∨QX。
c)由于P∨QX?P∩QX,有|?P∨QX|≤|?P∩QX|;由于P∩QX?P∨QX,有|?P∩QX|≤|?P∨QX|。因此αP∨Q≤αP∩Q。
证毕。
定理9 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∧QX=?P∪QX
P∧QX?P∪QX
αP∪Q≤αP∧Q
证明
a)?x∈?P∪QX,根据定义可得([x]?P∪[x]?Q)X成立,
根据集合之间的关系可得
[x]?PX和[x]?QX成立。因此有x∈P∧QX成立,即
P∪QX?P∧QX。
?x∈?P∧QX,有([x]?PX和[x]?QX成立,因此有([x]?P∪[x]?Q)X,即x∈?P∪QX,因此P∧QX?P∪QX。
综合这两种情况有P∧QX=?P∪QX。
b)?x∈?P∧QX,有[x]?P∩X≠?且
[x]?Q∩X≠?成立。由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,必然有
([x]?P∪[x]?P)∩X≠?,即x∈?P∪QX 。因此有P∧QX?P∪QX成立。
c)由于P∧QX=?P∪QX,有|?P∧QX|=|?P∪QX|;由于P∧QX?P∪QX,有|?P∧QX|≤|?P∪QX|。因此可得αP∪Q≤αP∧Q。
证毕。
定理10 给定信息系统(U,A),P,QA,XU,则有
P∪QX?P∨QX
P∨QX?P∪QX
αP∨Q≤αP∪Q
证明
a)?x∈?P∪QX,有[x]?P∪[x]?QX成立;
由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,可得[x]?PX,即x∈?P∨QX。
因此有P∪QX?P∨QX。
b)?x∈?P∨QX,有[x]?P∩X≠?或
[x]?Q∩X≠?成立。由于[x]?P[x]?P∪[x]?Q,
[x]?Q[x]?P∪[x]?Q,上述两种情况中的任何一种均可推导出
([x]?P∪[x]?Q)∩X≠?。因此有P∨QX?P∪QX。
c)由于P∪QX?P∨QX,有|?P∪QX|≤|?P∨QX|;由于P∨QX?P∪QX,有
|?P∨QX||?P∪QX|。因此可得αP∨Q≤αP∪Q。
证毕。
通过上述各定理可以得到组合粒下的粗糙集模型与粒逻辑运算下的粗糙集模型之间的关系,并且发现在相关粒下的知识粗糙度具有如下关系:
αP∨Q≤αP∪Q≤αP∧Q≤αP∩Q
基于此,从另一个角度给出知识粗细的形式化定义。
定义9 给定信息系统(U,A),P,Q是两个信息粒构造的商空间,称P?Q,如果对任意集合XU,均有α?Q≤α?P成立。
实际上,如果P?Q,则由粒集合P提供的知识比由Q提供的知识更细。基于上述相关定理,可以得到下面的结论。
定理11 〈{P∨Q,P∪Q,P∧Q,P∩Q},?〉是一个链。
证明略。
5 结束语
本文讨论了单粒运算与多粒运算下粗糙集之间的关系以及不同的多粒运算下粗糙集之间的关系这两个问题,对于进一步研究动态粒的结构以及基于动态粒的知识获取奠定了良好的基础。
参考文献:
[1]ZADEH L A.Fuzzy logic=computing with words[J].IEEE Trans on Fuzzy System, 1996,4(1):103-111.
[2]梁吉业,钱宇华.信息系统中的信息粒与熵理论[J].中国科学E辑,2008,38(12):2048-2065.
[3]PAWLAK Z.Rough sets[J].International Journal of Computer and Information Sciences,1982,11(5):341-356.
[4]张文修,吴伟志,梁吉业,等.粗糙集理论与方法[M].北京:科学出版社,2001.
