摘 要： 根据压缩感知具有压缩短、解码复杂和鲁棒性强的特征，提出一种新的基于压缩感知的数字图像水印算法。该算法有效克服了信号重建时稀疏度未知的问题，增强了数字水印系统的抗提取防破坏能力。在嵌入水印时，将水印的高频系数用构造的伯努利矩阵进行观测后，嵌入于图像的低频系数中;在提取水印时，利用正则化自适应匹配追踪(RAMP)算法对高频系数进行恢复，最后与低频系数结合实现水印的重构。实验结果表明：该算法在重构精度和重构时间上要高于同类算法，具有很好的鲁棒性、透明性和安全性。
关键词： 国家级计算机期刊,数字水印,压缩感知,RAMP算法,水印重构
A digital image watermark algorithm based on compressive perception
ZHANG Hao?hao， WU You， YU Rui， FENG Jin?jin
(School of Electronics and Information， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212003， China)
Abstract： Since compressive perception has the characteristics of short compression， decoding complexity and strong robustness， a new digital image watermark algorithm based on compressive perception is proposed. The algorithm overcame the shortcoming that the sparsity is unknown in signal reconstruction， and enhanced the function to resist illegal extraction and prevent damage of digital watermark system. When watermark is embedded， the high?frequency coefficients of the watermark are measured by the constructed Bernoulli matrix， and then the watermark is embedded in the low?frequency coefficients of the image. As for the watermark extraction， the regularized adaptive matching pursuit (RAMP) algorithm is used to recover the high?frequency coefficients， and make them combined with the preserved low?frequency coefficients to obtain the reconstructed watermark. Compared with the original compressed sensing algorithm， The experimental results demonstrate that the proposed algorithm is better than the original compressive perception algorithm in reconstruction accuracy and time consumption， and has good robustness， high transparency and security.
Keywords： digital watermark; compressive perception; RAMP algorithm; watermark reconstruction
0 引 言
随着计算机网络和信息技术的飞速发展，数字多媒体信息的传输和获取变得越来越容易，由此引发的数字多媒体的版权、经济利益等问题受到人们的广泛关注。数字水印技术[1]是一种有效解决版权和安全性问题的技术，被广泛应用在图像、音频、视频等多媒体信息的处理中，并且以数字图像水印为主，经历了从时域水印到变换域水印再到零水印，脆弱水印到鲁棒性水印再到二重水印的发展过程。早期的水印算法主要应用在空间域中，具有速度快的优点，虽算法简单，但鲁棒性不高，且易影响载体图像;而变换域水印具有容量大、抗干扰能力强、透明度高等特点，并且可以与现有的数据压缩标准JPEG兼容，信号能扩展到所有像素上，成为数字水印技术研究的热点。虽然已经进行了大量的研究，但到目前为止水印的抗攻击和防提取能力有限，这大大限制了数字水印技术在其他领域的应用。因此，寻求一种具有更好的抗攻击能力和防提取能力的数字水印新技术具有重要的研究意义。
近几年新兴的压缩感知技术为其提供了这种可能，它突破奈奎斯特采样定理的限制，使压缩、采样同步完成，通过合适的重构算法，使用少量的观测值便可恢复原始的稀疏信号，可有效减小系统存储和降低硬件的设计，保护数字水印信息，比传统的数字水印技术易操作和实现。本文把压缩感知理论应用于数字水印技术[2?3]中，结合人类视觉系统(HVS)的特性选择嵌入位置，增强了水印的鲁棒性和安全性，同时降低了存储空间。
1 压缩感知理论 压缩感知[4]的核心内容是已知信号进行某一正交变换后得到的系数大部分是近似为零的，就可以以远少于奈奎斯特采样定理所要求的采样数来重构出原始信号。它包含两个要点：信号的稀疏性和观测的不相关性，稀疏性是压缩感知的先决条件，不相关性是压缩感知观测可行性的保证。稀疏性和不相关性分别体现在信号的稀疏表示和观测矩阵的设计中，以下分别从三个方面来介绍压缩感知的基本原理。
1.1 信号的稀疏表示
将信号[X∈RN]通过正交变换基计算信号的变换系数[θ=ψTX]，称为信号的稀疏化。现实生活中，大部分信号都不是稀疏的，但是它们在变换域是稀疏的。对于图像信号，几乎所有的像素都不为零，但经过某个正交基(如DCT，DWT等)的变换，使得大多数系数的绝对值非常小，几乎可忽略不计视为零。取绝对值较大的系数几乎可以包含图像的全部信息，这样就可以将其看成是可压缩的。只要是可压缩的信号，就可以使用压缩感知采样理论。
1.2 观测矩阵的设计
观测矩阵的构造直接影响到压缩信号的重构，不同的信号会选择不同的稀疏表达基[5]。而针对每种不同的稀疏表达基[ψ]能否找到一个与其不相关的观测矩阵就显得尤为重要。用大小为M×N的采样矩阵[φ]对变换系数[θ]进行采样得到[Y=φθ=φψTX]。其中观测矩阵[φ]要求是一个与变换基[ψ]不相关、平稳的矩阵。常用的高斯随机矩阵满足上述条件，但需要的存储空间较大且计算复杂，因此本文选择重构信号概率较大且速度快的伯努利矩阵作为观测矩阵。
1.3 信号的重构
信号的重构是通过求解一个欠定的线性方程组，从低维度的观测值中恢复出高维度的原始信号的过程。将求解欠定方程组的问题转化为求解0?范数意义的最优化问题。通过公式计算可以得到X的精确或者近似X：
[minψTX0 s.t. Y=φψTX]
目前常用的重建算法有凸优化算法和贪婪算法。由于贪婪算法具有算法简单、重建效果好、计算量小等特点得到广泛应用，本文采用提出的RAMP算法来实现。
2 RAMP算法
RAMP算法把ROMP算法[6]正则化过程和SAMP算法的自适应思想结合起来，有效克服了OMP及其延伸类算法只有首先对信号的稀疏度估计才能精确重建的局限，使得算法本身可以在迭代过程中通过可变步长自动进行原子数目筛选来重建稀疏度未知的信号。算法中采用转换阶段的方式筛选候选集中的原子，把一次迭代过程分为多个阶段，通过设置一个可变步长的方式取代所选原子数目，随着步长的增加，实现在稀疏度未知的条件下逐步逼近稀疏度K取得原始信号的精确重构。
下列步骤具体说明了该算法的过程：
(1) 余量[r0]=y，初始步长s[≠]0，阶段j=1，迭代次数k=1，索引值集[Λ=?]，候选集[J=?];
(2) 若[rk≤ε1]，则停止迭代，利用所得的原子进行信号重构;否则进入下一步运算;
(3) 用公式计算相关系数[ut]：
[ut=ujuj=rj，φj，j=1，2，…，N]
并从[ut]中找到s个最大值，将对应的索引存入候选集J中，完成原子的第一次筛选;
(4) 第二次筛选原子：通过正则化将候选集J中索引值对应的原子的相关系数结果存入集合[J0?J]中，其中原子的相关系数必须满足式[u(i)≤2u(j)，][其中i，j∈J0];
(5) 更新支撑集[ΦΛ]， [Λ=Λ?J0];
(6) 用公式[argminy-ΦΛX2]求出信号逼近[X]，同时用公式[rt=y-ΦΛX]更新余量;
(7) 如果[rt-rt-1≤ε2]时，j=j+1，s=s・j，返回步骤(3); 否则返回步骤(2)。
其中[ε1]与[ε2]分别为迭代终止和阶段转换的阈值，在信号重构过程中通过比较残差和阈值的关系来判断是否自动调整当前步长，进入下一个阶段或者下一次迭代还是完成信号的重建，从而完成自适应重建过程，避免了一般的贪婪算法由于选择的稀疏度与信号的实际稀疏度不匹配现象的出现。
步骤(4)采用正则化过程进行原子的二次筛选，可以保证未被选入支撑集的原子的能量一定远小于被选入原子的能量，同时也继承正则化思想快速的特点，实现信号在稀疏度未知下高速、稳定、精确地信号重建。
3 水印的嵌入与提取
本文采用256×256的Lena灰度图作为原始载体图像，标有“ABCDEF”的64×64的二值图像作为水印图像，如图4(a)、图4(c)所示，选择“db1”作为小波稀疏基，观测矩阵为构造的随机伯努利矩阵，采用RAMP贪婪算法将稀疏的水印信号重构出来，完成水印的嵌入与提取。
3.1 水印的嵌入
水印信息的具体嵌入步骤如下：
(1) 对原图像X进行小波多尺度变换[7]，得到含有{LH，HL，HH，LL} 多个高频成分和低频成分子带系数X1;
(2)对水印图像w进行单层小波变换，得到 [{LH1，HL1，HH1，LL1}]四个小波子带系数w1;
(3) 用服从伯努利分布的随机观测矩阵[?]分别对稀疏化的水印信息w1的高频系数[{LH1，HL1，HH1}]进行测量，而低频[LL1]子带系数则保持不变;
(4) 对观测后的水印信号w2乘上嵌入强度系数q加到X1的低频系数上，得到带水印信息的信号X2，即[X2=X1+qw2];
(5) 对X2采用小波逆变换重构形成加入水印后的图像X3。
整个嵌入过程如图1所示。
图1 数字水印的嵌入
3.2 水印的提取 水印信息的详细提取过程如下：
(1) 对含水印的图像X3用小波基实现稀疏化，得到P1;
(2) 分别对P1和稀疏化的原始载体图像X1的对应低频系数利用加性逆规则求差值得到嵌入水印的低频系数[LL1];
(3) 对水印图像w1的高频[{LH1，HL1，HH1}]利用RAMP算法进行重构得到[{LH1，HL1，HH1}];
(4) 最后[{LH1，HL1，HH1}]与[LL1]子带结合一起进行小波反变换得到水印图像。
整个提取过程如图2所示。
图2 数字水印的提取
4 实验仿真分析
为了达到本文算法的预期效果，分别通过了3个实验进行验证。实验一验证提出的RAMP算法的重构效果，实验二是验证此算法下水印的嵌入与提取效果，实验三通过攻击测试验证本文算法的鲁棒性。
由于在Matlab 2010b下构造的M行N列的伯努利矩阵[7]在仿真实验时，每次选择的M行值进行观测时均不相同，这会影响到图像重建的效果。因此，为了确保误差比较小，在同一M值下进行大量实验，得出重构图像的峰值信噪比(PSNR)相差会在±0.2 dB，重构时间和互相关系数(NC)为±0.01。下面图形的结果均为将程序运行3次取其平均值绘制而成的。
实验一：对二值水印的压缩感知编码和重建过程进行分析，图3是单层小波变换后压缩感知的处理结果，其中采样率分别为0.3，0.5，0.7和0.9。可以看出，采样率>0.5 时，重构效果比较好，若降低采样率，重构图像将会变得很模糊。随着采样系数的增加，重建图像的质量越高，但运行时间也越长。改进的RAMP算法提高了运算速度，重构时间最长不超过0.2 s， PSNR最高可达34.957 5 dB。
图3 水印图像的重建效果比较
实验二：本文选择采样率为0.7在原始载体中嵌入二值水印图像，对其不做任何形式的攻击处理，并从中提取出水印信息[8]，实验结果如图4所示。载有水印的图像很好地被人类视觉系统接受，并没有引起图像的失真。分别对嵌入水印的宿主信号、载体图像和原始水印、提取的水印的性能进行评价，得到PSNR为 36.139 6 dB，NC为0.948 1，满足数字水印系统的评价标准，有较好的不可感知性和鲁棒性。这说明本文提出的RAMP算法具有较好的重构性能，达到本次实验的效果。
实验三：抗攻击测试。对含有水印的载体图像分别进行JPEG压缩、高斯低通滤波、叠加高斯噪声和椒盐噪声四种攻击方式来验证该算法的性能，攻击后水印的提取结果如图5所示。分别通过公式计算载体图像的PSNR和水印的NC，与文献[9]进行比较，比较结果见表1。
通过图5和表1的结果可以看出：该算法对嵌入图像的水印有一定的鲁棒性，特别是对JPEG压缩和高斯低通滤波有较好的鲁棒性。
图4 水印的嵌入与提取
图5 攻击下提取的水印
表1 不同算法在攻击下的性能对比
5 结 语
考虑到小波变换4个子带系数的不同特性，只对高频子带进行压缩感知，结合RAMP算法完成水印信号的嵌入与提取。通过实验仿真得到本文方法较之传统方法图像重构的PSNR平均提高2～4 dB。再加上本文提出的算法不需要预知稀疏度，算法的通用性得到增强，提高了算法效率[10]。同时，本文在抵御JPEG压缩、低通滤波等常见攻击方面拥有很强的鲁棒性，保证了水印的安全性，具有较好的抗提取能力。为提高算法的总体性能，后续还将寻求更适合数字水印系统的采样矩阵和重构算法，努力实现水印的盲提取。
参考文献
[1] 陈国法，郭树旭，李杨，等.基于压缩感知的数字图像水印算法[J].现代电子技术，2012，35(13)：98?104.
[2] 魏丰，梁栋，张成，等.基于压缩感知观测值的数字图像水印算法[J].安徽大学学报，2013，37(3)：61?68.
[3] LI Zhe?tao， XIE Jing?xiong， YU Zu?guo. Compressed sensing based on best wavelet packet basis for image processing [J]. Journal on Communications， 2013， 8(8)：1947?1950.
[4] 王泽宇.压缩感知在数字水印中的应用研究[D].北京：北方工业大学，2013.
[5] 张敏.基于压缩感知的数字水印方法研究[D].武汉：武汉科技大学，2012.
